Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen
90
pages
Deutsch
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2010
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2010
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Title: ¨ber Integralinvarianten und Differentialgleichungen U Author: Sophus Lie Release Date: April 24, 2008 [EBook #25157] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1
*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
¨ Uber Integralinvarianten
und
Differentialgleichungen
von
Sophus Lie
Videnskabsselskabets Skrifter. 1. Mathematisk-naturv. Klasse 1902. No. 1
Udgivet for Fridtjof Nansens Fond
Christiania In Kommission bei Jacob Dybwad
A. W. Brøggers Buchdruckerei 1902
Produced by K.F. Greiner, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections)
Anmerkungen zur Transkription
Die inkonsistente Schreibweise mehrerer W¨rter im Original wurde unver¨ndert o a ubernommen. Vom Verlag nachtr¨glich angegebene Berichtigungen wurden in a ¨ den Text eingearbeitet und mit einem Pluszeichen als Anmerkung markiert.
Fremlagt i Vid. Selsk. math. naturv. Kl. den 27de Septbr. 1901.
Vorwort.
Die Gesellschaft der ...
TheProjectGutenbergEBookofU¨berIntegralinvariantenund
Differentialgleichungen,bySophusLie
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Title:U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
Author:SophusLie
ReleaseDate:April24,2008[EBook#25157]
Language:German
Charactersetencoding:ISO-8859-1
***TSRATFOHTSIRPJOCETUGETBNREGBEOOKNIETRGLANIAVIRNAETNNUDIDFFRENEITLALGIEHCNUEGN***
U¨berIntegralinvarianten
dnuDifferentialgleichungen
vno
SophusLie
VidenskabsselskabetsSkrifter.1.Mathematisk-naturv.Klasse1902.No.1
UdgivetforFridtjofNansensFond
Christiania
InKommissionbeiJacobDybwad
A.W.BrøggersBuchdruckerei
2091
ProducedbyK.F.Greiner,RalfStephan,JoshuaHutchinsonandthe
OnlineDistributedProofreadingTeamathttp://www.pgdp.net(Thisfile
wasproducedfromimagesgenerouslymadeavailablebyCornellUniversity
DigitalCollections)
AnmerkungenzurTranskription
DieinkonsistenteSchreibweisemehrererWo¨rterimOriginalwurdeunvera¨ndert
u¨bernommen.VomVerlagnachtra¨glichangegebene
Berichtigungen
wurdenin
denTexteingearbeitetundmiteinemPluszeichenalsAnmerkungmarkiert.
FremlagtiVid.Selsk.math.naturv.Kl.den27deSeptbr.1901.
Vorwort.
DieGesellschaftderWissenschaftenhatunsmitdemAuftragbeehrt,Pro-
fessorSophusLieshinterlasseneManuscriptedurchzusehen,dasich
daruntermo¨glicherweiseAbhandlungenbefindenkonnten,diesichzurBear-
beitungoderVero¨ffentlichungeigneten.
VondensehrzahlreichenhinterlassenenManuscripten,derenVerzeichniss
spa¨tervero¨ffentlichtwerdensoll,sindnurwenigesoweitausgearbeitet,dass
sieohneweiteresgedrucktwerdenko¨nnten.
DagegenfindensichzahlreicheEntwu¨rfemitskizzirtenArbeitenundhin-
geworfenenIdeen,diebeieingehendererBearbeitungwohlinteressanteRe-
sultateliefernko¨nnen.
WirpublicierenhiermitdieerstedernachgelassenenAbhandlungen:
U¨ber
IntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
.DiesebildeteineFortset-
zungzweierfru¨hererAbhandlungenu¨berIntegralinvarianten,dieindenBe-
richtenderkgl.Sa¨ch.GesellschaftderWiss.zuLeipzig1897publicirtsind,
undwarvonLieurspru¨nglich,wieauseinerAufschriftaufdemManuscript
hervorgeht,bestimmt,ebendazuerscheinen.
DieAbhandlungistimGrossenundGanzenziemlichinsReinegeschrie-
benundhierunddasindCorrecturenu¨bergeklebt.Daherdu¨rftesievonLie
bereitsfu¨rdenDruckbestimmtgewesensein.Zwarfehltderangeku¨ndigte
zweiteTheil(sieheS.6,Note7)unddieEinleitungscheintnochnicht
endgu¨ltigredigiertgewesenzusein;aberdieAbhandlungbildettrotzdemein
soabgeschlossenesGanzes,dasswirkeinBedenkentragensiezuvero¨ffent-
lichen.
WirhabendasStudiumdieserAbhandlungdurchAnmerkungenansol-
chenStellenzuerleichterngesucht,woeinCitatodereineErla¨uterungwu¨n-
schenswerthscheinenkonnte.HierunddahabenwirauchkleinereSchreib-
oderRechenfehlerrichtiggestellt,woraufwirstetsinAnmerkungenaufmerk-
sammachen.
WirsprechenhiermitHr.ProfessorH.GoldschmidtinChristianiaund
Hr.ProfessorFriedrichEngelinLeipzigunserenbestenDankfu¨rihre
Mithu¨lfebeimCorrecturenlesenaus.DemLetztgenanntenverdankenwir
auchmehrerewerthvolleAufkla¨rungenu¨bergewissePunkteinderEinlei-
.gnut
AlfGuldberg.
CarlStørmer.
U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
∗
.
novSophusLie.
InzweiAbhandlungen,dieindenLeipzigerBerichten
†
erschienensind,
habeichwichtigeBeitr¨agezuderschonfru¨hervonmirgestreiftenallge-
meinenTheoriederIntegralinvariantengeliefert.IndererstenArbeit,die
zuna¨chstdemallgemeinenBegriffederIntegralinvariantenunddemZusam-
menhangdiesesBegriffesmitmeinerTheoriedercontinuierlichenGruppen
undderDifferentialinvariantengewidmetwar,sahichmichdazuveranlasst,
dasAbha¨ngigkeitsverha¨ltnisszubetonen,indemdieArbeitenandererMa-
thematikeru¨berdiesenGegenstandzumeinena¨lterenArbeitenstehen.In
derzweitenAbhandlungbescha¨ftigteichmichmitder
Verwerthungbekann-
terIntegralinvariantenfu¨rdieIntegrationvorgelegterDifferentialgleichungen
undinsbesonderefu¨rdieReductioneinergegebenencontinuirlichenGruppe
aufihreNormalform.
IndieserdrittenAbhandlungbescha¨ftigeichmichwiederummitderBe-
deutungderIntegralinvariantenfu¨rdieallgemeineTheoriederDifferential-
gleichungen,undzwarzerfa¨lltdieseArbeitinmehrereAbschnitte
1
),indenen
einlehrreiches
Beispiel
vonsehrallgemeinemCharakterimEinzelnendurch-
gefu¨hrtwird;gelegentlichgebeichauchtheoretischeEntwicklungen,welche
die
allgemeineTheorie
derIntegralinvariantenfo¨rdernsollen.
DerZweckdieserUntersuchungenisteigentlicheindoppelter.Einerseits
bietetdieTheoriederIntegralinvariantenansicheinsogrossesInteresse,
dasseineausfu¨hrlicheDarstellungdieserLehrealszweckma¨ssig,janotwen-
digbetrachtetwerdenmuss.Anderseitsistwohlzubeachten,dassdieTheorie
derIntegralinvariantenimho¨chstenMassedazugeeignetist,besonderslehr-
reicheIllustrationenzumeinenallgemeinenIntegrationstheorienzuliefern.
SeitdemAnfangedersiebzigerJahrenhabeicheineReihefundamentaler
Integrationstheorienentwickelt,indenenausgedehnteCategorienvonDif-
ferentialgleichungendurchrationellegruppentheoretischeMethodenerledigt
werden,diemit
Lagrange’s
,
Abel’s
und
Galois’
Behandlungderalgebraischen
GleichungendurchgreifendeAnalogiendarbieten.
Diesemeineallgemeinen
Untersuchungen,indenenvielespecielleResultatemeinerNachfolgeranti-
cipirtwordensind,habennochnichtdieallgemeineBeachtunggefunden,die
∗
DieTheoriendieserAbhandlungentwickelteichimSommersemester1897inmeinen
Seminar-VorlesungenanderUniversita¨tLeipzig.S.Lie.
†
LeipzigerBerichteMaiundJuli1897.
2
SophusLie.
M.N.Kl.
sieentschiedenverdienen.
EsberuhtdieswahrscheinlicherweiseinersterLi-
niedarauf,dassmeineTheorienfastimmerin
abstracter
Formentwickelt
wordensind
∗
.Darumversucheichjetztwieauchinfru¨herenPublicationen,
lehrreiche
und
interessanteBeispiele
zumeinenallgemeinenTheorienim
Einzelnendurchzufu¨hren.Schliesslichwirdesmirwohleinmalgelingen,
der
mathematischenWeltklarzumachen,dassgeradedieDifferentialgleichun-
gendasjenigeGebietliefern,innerhalbdessendiecapitaleBedeutungmeiner
Gruppentheoriesichamsta¨rkstengeltendmacht
.Esistebeneincharakteri-
stischesMerkmalderGruppentheorie,dasssieeinerseitsschwierigeProbleme
erledigt,unddasssieanderseits
genaufeststellt,wasuntergegebenenVor-
aussetzungengeleistetwerdenkann
.
Vielleichtkannesnu¨tzlichsein,eheichdenspeciellenGegenstanddieser
AbhandlunginAngriffnehme,aufeinigeuntermeinenallgemeinenIntegra-
tionstheorienhinzuweisen.
DieIntegrationeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n
−
q
)
ter
Ord-
nungindenVera¨nderlichen
x
und
y
kannbekanntlichimmeraufdieErledi-
gungeines
q
-gliedrigenvollsta¨ndigenSystems:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(1)
in
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,x
2
,...x
n
zuru¨ckgefu¨hrtwerden,und
dabeila¨sstsichimmererreichen,dassdieKlammerausdru¨cke
X
i
X
k
f
−
X
k
X
i
f
sa¨mtlichidentischverschwinden.
Manweissandererseits,dassdieIntegrationeines
q
-gliedrigenvollsta¨n-
digenSystems(1)mit
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,...x
n
,sichauf
dieErledigungeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n
−
q
)
ter
Ordnung
zuru¨ckfu¨hrenla¨sst;unddabeiliegtesinderNaturderSache,dassdiese
Hu¨lfsgleichung(
n
−
q
)
ter
OrdnungimAllgemeinenkeinespecielleEigenschaf-
tenbesitzt,ausdenensicheineVereinfachungihrerIntegrationherleitenlies-
.esGanzanderskanndieSachestehen,wenneinvollsta¨ndigesSystem:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(
x
1
,x
2
,...x
n
)
∗
EinigeuntermeinenSchu¨lernfindeneszweckma¨ssig,diejenigenuntermeinenInte-
grationstheorien,dievondenJahren1870–1882herru¨hren,einfachzuignorieren.Esist
aberundbleibteingeschichtlichesFaktum,dassnichtalleindieBegru¨ndungderTheorie
dercontinuierlichenGruppen,sondernauchdieallgemeineVerwerthungdieserTheoriefu¨r
Differentialgleichungenvonmirherru¨hrt.
1902No.1u¨berintegralinvariantenunddifferentialgl.
3
zuIntegrationvorgelegtist,und
manvonvornehereingewissespecielleEi-
genschaftendiesesvollsta¨ndigenSystemsschonkennt
.
Ganzbesonderseingehendhabeichmich
∗
indenJahren1872und1874
mitderAnnahmebescha¨ftigt,dass
gewisseinfinitesimaleTransformationen
:
Y
1
f,Y
2
f,...Y
p
f
,diedasvo
