Über Integralinvarianten und Differentialgleichungen

TheProjectGutenbergEBookofU¨berIntegralinvariantenund
Differentialgleichungen,bySophusLie

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Title:U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen

Author:SophusLie

ReleaseDate:April24,2008[EBook#25157]

Language:German

Charactersetencoding:ISO-8859-1

***TSRATFOHTSIRPJOCETUGETBNREGBEOOKNIETRGLANIAVIRNAETNNUDIDFFRENEITLALGIEHCNUEGN***

U¨berIntegralinvarianten

dnuDifferentialgleichungen

vno

SophusLie

VidenskabsselskabetsSkrifter.1.Mathematisk-naturv.Klasse1902.No.1

UdgivetforFridtjofNansensFond

Christiania
InKommissionbeiJacobDybwad
A.W.BrøggersBuchdruckerei
2091

ProducedbyK.F.Greiner,RalfStephan,JoshuaHutchinsonandthe
OnlineDistributedProofreadingTeamathttp://www.pgdp.net(Thisfile
wasproducedfromimagesgenerouslymadeavailablebyCornellUniversity
DigitalCollections)

AnmerkungenzurTranskription
DieinkonsistenteSchreibweisemehrererWo¨rterimOriginalwurdeunvera¨ndert
u¨bernommen.VomVerlagnachtra¨glichangegebene

Berichtigungen

wurdenin
denTexteingearbeitetundmiteinemPluszeichenalsAnmerkungmarkiert.

FremlagtiVid.Selsk.math.naturv.Kl.den27deSeptbr.1901.

Vorwort.
DieGesellschaftderWissenschaftenhatunsmitdemAuftragbeehrt,Pro-
fessorSophusLieshinterlasseneManuscriptedurchzusehen,dasich
daruntermo¨glicherweiseAbhandlungenbefindenkonnten,diesichzurBear-
beitungoderVero¨ffentlichungeigneten.
VondensehrzahlreichenhinterlassenenManuscripten,derenVerzeichniss
spa¨tervero¨ffentlichtwerdensoll,sindnurwenigesoweitausgearbeitet,dass
sieohneweiteresgedrucktwerdenko¨nnten.
DagegenfindensichzahlreicheEntwu¨rfemitskizzirtenArbeitenundhin-
geworfenenIdeen,diebeieingehendererBearbeitungwohlinteressanteRe-
sultateliefernko¨nnen.
WirpublicierenhiermitdieerstedernachgelassenenAbhandlungen:
U¨ber
IntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
.DiesebildeteineFortset-
zungzweierfru¨hererAbhandlungenu¨berIntegralinvarianten,dieindenBe-
richtenderkgl.Sa¨ch.GesellschaftderWiss.zuLeipzig1897publicirtsind,
undwarvonLieurspru¨nglich,wieauseinerAufschriftaufdemManuscript
hervorgeht,bestimmt,ebendazuerscheinen.
DieAbhandlungistimGrossenundGanzenziemlichinsReinegeschrie-
benundhierunddasindCorrecturenu¨bergeklebt.Daherdu¨rftesievonLie
bereitsfu¨rdenDruckbestimmtgewesensein.Zwarfehltderangeku¨ndigte
zweiteTheil(sieheS.6,Note7)unddieEinleitungscheintnochnicht
endgu¨ltigredigiertgewesenzusein;aberdieAbhandlungbildettrotzdemein
soabgeschlossenesGanzes,dasswirkeinBedenkentragensiezuvero¨ffent-
lichen.
WirhabendasStudiumdieserAbhandlungdurchAnmerkungenansol-
chenStellenzuerleichterngesucht,woeinCitatodereineErla¨uterungwu¨n-
schenswerthscheinenkonnte.HierunddahabenwirauchkleinereSchreib-
oderRechenfehlerrichtiggestellt,woraufwirstetsinAnmerkungenaufmerk-
sammachen.
WirsprechenhiermitHr.ProfessorH.GoldschmidtinChristianiaund
Hr.ProfessorFriedrichEngelinLeipzigunserenbestenDankfu¨rihre
Mithu¨lfebeimCorrecturenlesenaus.DemLetztgenanntenverdankenwir
auchmehrerewerthvolleAufkla¨rungenu¨bergewissePunkteinderEinlei-
.gnut

AlfGuldberg.

CarlStørmer.

U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
∗
.
novSophusLie.
InzweiAbhandlungen,dieindenLeipzigerBerichten
†
erschienensind,
habeichwichtigeBeitr¨agezuderschonfru¨hervonmirgestreiftenallge-
meinenTheoriederIntegralinvariantengeliefert.IndererstenArbeit,die
zuna¨chstdemallgemeinenBegriffederIntegralinvariantenunddemZusam-
menhangdiesesBegriffesmitmeinerTheoriedercontinuierlichenGruppen
undderDifferentialinvariantengewidmetwar,sahichmichdazuveranlasst,
dasAbha¨ngigkeitsverha¨ltnisszubetonen,indemdieArbeitenandererMa-
thematikeru¨berdiesenGegenstandzumeinena¨lterenArbeitenstehen.In
derzweitenAbhandlungbescha¨ftigteichmichmitder
Verwerthungbekann-
terIntegralinvariantenfu¨rdieIntegrationvorgelegterDifferentialgleichungen
undinsbesonderefu¨rdieReductioneinergegebenencontinuirlichenGruppe
aufihreNormalform.
IndieserdrittenAbhandlungbescha¨ftigeichmichwiederummitderBe-
deutungderIntegralinvariantenfu¨rdieallgemeineTheoriederDifferential-
gleichungen,undzwarzerfa¨lltdieseArbeitinmehrereAbschnitte
1
),indenen
einlehrreiches
Beispiel
vonsehrallgemeinemCharakterimEinzelnendurch-
gefu¨hrtwird;gelegentlichgebeichauchtheoretischeEntwicklungen,welche
die
allgemeineTheorie
derIntegralinvariantenfo¨rdernsollen.
DerZweckdieserUntersuchungenisteigentlicheindoppelter.Einerseits
bietetdieTheoriederIntegralinvariantenansicheinsogrossesInteresse,
dasseineausfu¨hrlicheDarstellungdieserLehrealszweckma¨ssig,janotwen-
digbetrachtetwerdenmuss.Anderseitsistwohlzubeachten,dassdieTheorie
derIntegralinvariantenimho¨chstenMassedazugeeignetist,besonderslehr-
reicheIllustrationenzumeinenallgemeinenIntegrationstheorienzuliefern.
SeitdemAnfangedersiebzigerJahrenhabeicheineReihefundamentaler
Integrationstheorienentwickelt,indenenausgedehnteCategorienvonDif-
ferentialgleichungendurchrationellegruppentheoretischeMethodenerledigt
werden,diemit
Lagrange’s
,
Abel’s
und
Galois’
Behandlungderalgebraischen
GleichungendurchgreifendeAnalogiendarbieten.
Diesemeineallgemeinen
Untersuchungen,indenenvielespecielleResultatemeinerNachfolgeranti-
cipirtwordensind,habennochnichtdieallgemeineBeachtunggefunden,die
∗
DieTheoriendieserAbhandlungentwickelteichimSommersemester1897inmeinen
Seminar-VorlesungenanderUniversita¨tLeipzig.S.Lie.
†
LeipzigerBerichteMaiundJuli1897.

2

SophusLie.

M.N.Kl.

sieentschiedenverdienen.
EsberuhtdieswahrscheinlicherweiseinersterLi-
niedarauf,dassmeineTheorienfastimmerin
abstracter
Formentwickelt
wordensind
∗
.Darumversucheichjetztwieauchinfru¨herenPublicationen,
lehrreiche
und
interessanteBeispiele
zumeinenallgemeinenTheorienim
Einzelnendurchzufu¨hren.Schliesslichwirdesmirwohleinmalgelingen,
der
mathematischenWeltklarzumachen,dassgeradedieDifferentialgleichun-
gendasjenigeGebietliefern,innerhalbdessendiecapitaleBedeutungmeiner
Gruppentheoriesichamsta¨rkstengeltendmacht
.Esistebeneincharakteri-
stischesMerkmalderGruppentheorie,dasssieeinerseitsschwierigeProbleme
erledigt,unddasssieanderseits
genaufeststellt,wasuntergegebenenVor-
aussetzungengeleistetwerdenkann
.
Vielleichtkannesnu¨tzlichsein,eheichdenspeciellenGegenstanddieser
AbhandlunginAngriffnehme,aufeinigeuntermeinenallgemeinenIntegra-
tionstheorienhinzuweisen.
DieIntegrationeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n
−
q
)
ter
Ord-
nungindenVera¨nderlichen
x
und
y
kannbekanntlichimmeraufdieErledi-
gungeines
q
-gliedrigenvollsta¨ndigenSystems:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(1)
in
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,x
2
,...x
n
zuru¨ckgefu¨hrtwerden,und
dabeila¨sstsichimmererreichen,dassdieKlammerausdru¨cke
X
i
X
k
f
−
X
k
X
i
f
sa¨mtlichidentischverschwinden.
Manweissandererseits,dassdieIntegrationeines
q
-gliedrigenvollsta¨n-
digenSystems(1)mit
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,...x
n
,sichauf
dieErledigungeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n
−
q
)
ter
Ordnung
zuru¨ckfu¨hrenla¨sst;unddabeiliegtesinderNaturderSache,dassdiese
Hu¨lfsgleichung(
n
−
q
)
ter
OrdnungimAllgemeinenkeinespecielleEigenschaf-
tenbesitzt,ausdenensicheineVereinfachungihrerIntegrationherleitenlies-
.esGanzanderskanndieSachestehen,wenneinvollsta¨ndigesSystem:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(
x
1
,x
2
,...x
n
)
∗
EinigeuntermeinenSchu¨lernfindeneszweckma¨ssig,diejenigenuntermeinenInte-
grationstheorien,dievondenJahren1870–1882herru¨hren,einfachzuignorieren.Esist
aberundbleibteingeschichtlichesFaktum,dassnichtalleindieBegru¨ndungderTheorie
dercontinuierlichenGruppen,sondernauchdieallgemeineVerwerthungdieserTheoriefu¨r
Differentialgleichungenvonmirherru¨hrt.

1902No.1u¨berintegralinvariantenunddifferentialgl.
3

zuIntegrationvorgelegtist,und
manvonvornehereingewissespecielleEi-
genschaftendiesesvollsta¨ndigenSystemsschonkennt
.
Ganzbesonderseingehendhabeichmich
∗
indenJahren1872und1874
mitderAnnahmebescha¨ftigt,dass
gewisseinfinitesimaleTransformationen
:
Y
1
f,Y
2
f,...Y
p
f
,diedasvo