jeux de tableaux croisés
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2013
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Jeux de Tableaux croisés d’égalités A.F. Benmakhlouf Département d’Optique et Mécanique de Précision. Faculté des Sciences de l‘Ingénieur. Université Ferhat ABBAS Sétif, 19000, Algérie E-mail : a_f.2011@yahoo.fr Résumé : dans un contexte de la réalisation de jeux de calcul mathématique, aussi d’ouvrir l’esprit du lecteur à la résolution de certains problèmes de jeux des tableaux numériques qui demandent un calcul à faire, qui demandent aussi une intelligence et une connaissance de base en mathématique, on a réalisé ce travail « jeux de tableaux croisés d’égalités» pour arriver à la fin à un modèle de résolution de toutes sortes de tableaux croisés d’égalités. 2 Mots clés : nombre naturel, suites numériques, égalité, tableau N
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Jeux de Tableaux croisés d’égalités
A.F. Benmakhlouf Département d’Optique et Mécanique de Précision. Faculté des Sciences de l‘Ingénieur. Université Ferhat ABBAS Sétif, 19000, Algérie Email : a_f.2011@yahoo.fr
Résumé: dans un contexte de la réalisation de jeux de calcul mathématique, aussi d’ouvrir l’esprit du lecteur à la résolution de certains problèmes de jeux des tableaux numériques qui demandent un calcul à faire, qui demandent aussi une intelligence et une connaissance de base en mathématique, on a réalisé ce travail « jeux de tableaux croisés d’égalités» pour arriver à la fin à un modèle de résolution de toutes sortes de tableaux croisé d’égalités.
2 Mots clés : nombre naturel, suites numériques, égalité, tableau N
1.Introduction :
Dans une vue de calcul d’égalité, pour en savoir sur les tableaux croisés, dans cette étude, on a essayé de mètre en évidence la manipulation des données « nombres naturels », puis les classer dan des tableaux croisés afin d’avoir une somme égale dans les deux directions, horizontale et verticale. 2 Soit un tableau (N ) 1 2 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . .N2 Tab0. Tableau N
2 On veux organiser les nombres naturels partant de 1 jusqu’à N , afin d’avoir une somme égale entre les colonnes et les lignes.
2 2 Théorème1donnant une somme égale entre les: soit un tableau (N ), la répartition de nombres 1,2..,N colonnes et les lignes. Cette somme est donnée par :
Exemple où N =3
మ ே ∑ ݅ ୀଵ ܵ= (1)ܰ
మ ே ଽ ∑ ݅ ∑ ݅1 + 2 +⋯+ 9 45 ୀଵ ୀଵ ܵ= = = = = 15ܰ3 3 3
Théorème 2: cette somme S représente toujours un nombre naturel
Démonstration
ே(ேାଵ) ே Le développement de l’équation (1) en utilisant l’égalité∑ ݅= 1 + 2 +⋯. +ܰ=conduit à : ୀଵ ଶ
మ ே ଶ ∑ ݅ ܰ(ܰ+ 1) ୀଵ ܵ= = (2)ܰ2
Si N = 2k :
Si N = 2k +1
ଶ ଶ ଶ ܰ((2݇+ 1)+ 1) ܰ(4݇+ 4݇+ 1 + 1) 2ܰ(2݇+ 2݇+ 1) ܵ= = =2 2 2 ଶ ∗ ܵ=ܰ(2݇+ 2݇+ 1)∈ ℕ
2.Exemples d’application 2 21. Tableau 3 d’égalités
2 Soit un tableau (N ), avec N=3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Tab1. Tableau 3
Ce tableau comporte neuf cases, donc une numérotation de 1 jusqu’à 9. On veut organiser ces nombres naturels dans ce tableau afin d’avoir une somme égale entre les colonnes et les lignes.
1S=15 2Après plusieurs essayes, nous arrivons à la forme suivante :
2 7 6 15 9 5 1 15 4 3 8 15 15 15 15 2 Tab2. Tableau de base 3
Ce tableau est construit de la façon suivante :
Nous allons voir par la suite, pour tout N =2k+1, la construction la plus simple et la plus efficace des tableaux est basée sur la même méthode précédente.
2 22.Tableau 4 d’égalités
N= 4, cela implique que les nombre à organiser sont : 1,2,….,16, avec :
మ ସ ∑ ݅4(16 + 1) ୀଵ ܵ= 34= = ܰ2
2 Ces deux exemples précédents seront la base pour la construction de tout tableau (N ), dont N≥5, néanmoins il y a une différence entre un tableau pair et un tableau impair, pour cela on va distinguer entre N = 2 k et N= 2 k +1:
7
3
2
8
3 7
6 2
Construisons un tableau (5x5) ou (7x7)…
5 11 14 4 34 12 6 3 13 34 16 2 7 9 34 1 15 10 8 34 34 34 34 34 2 Tab3. Tableau de base 4
20 7
Après plusieurs essayes nous arrivons au tableau suivant :
3.Généralisation
11
1
Ce tableau est construit de la façon suivante :
25
9 22 15 21 14 2 13 1 19 5 18 6 17 10 23
12
4
16
25
5 1 1 1
4 3 8
er 1 cas : N est impair, la construction des tableaux est simple, seulement cela demande à revenir à l’exemple où N=3.
65
65
65
65
65
5 4 10 9 15 8 14 20 13 19 12 18 24 17 23 16 22 21 Table de base
65 65 65
65 65
24 11
6
1
3
1
8
3 15
7 6 5 1 21 4 29 1 5 28 35 11 3 3 35 1 18 4 4 25 9 7 32 8 0 3 39 15 22 5 30 1 21 46 29 5 3 4 175 175 175 175 175 175 175 2 2 Tab. 4 : Tableaux d’égalités 5 et 7
2
9
175 175 175 175 175 175 175
Nous pouvons constater facilement que : 5(25 + 1) ܵ= = 65ହ 2 7(49 + 1) ܵ175= = 2 2 2 On demande de réaliser un tableau 9 et 11 ?ème 2 cas : N est pair Dans ce cas, le travail devient plus intéressant, il demande un peut d’intelligence et de logique Exemple explicatif Soit la série suivante : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Elle conduit au tableau d’égalités Tab. 1: Voici une autre série Série +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 de base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Série 2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Tab.5 : Réalisation d’une nouvelle suite à partir d’une suite de base Elle conduit au tableau d’égalités suivant : 4 19 16 39 25 13 1 39 10 7 22 39 39 39 39 Théorème : Soit une série numérique undéfinit par : ݑଵ= 1 ൜ݑ ݑ ାଵ=+ݎ 2 A partir de cette suite numérique, on peut former un tableau N de sommes égales suivant les lignes et les ݑ colonnes, cela quelque sois la valeur de r. cette égalité reste valable aussi quelque sois la valeur deଵCe théorème sera la base de toute la suite de cette étude 2 On veut réaliser un tableau 6 d’égalités 2 2 Le tableau de base est celui 3 d’égalités, on construit 4 tableau de la forme 3
3 2 7 6 15 1 9 5 1 9 15 4 3 8 15 7 15 15 15 ݑ 1ݑାଵ4 2 ݑݑ ାଷ 3ାଶFig.1 : Construction de 4 tableaux d’égalités à partir d’un tableau d’égalités de base Le remplissage des tableaux sera comme suit : 51262254 105 1754 10551 18 51110354 105 51 51 51 54 54 54 6027257 117 204601957 117 1612326015113157 117 60 60 60 57 57 57 111 111 111 111 111 111 Fig.2 : Distribution des valeurs undans 4tableaux d’égalités à partir d’un tableau d’égalités de base 2 Le remplissage se fait comme si nous avons la superposition de 4 tableaux 3 , la caseݑ ݑ me tableau porte la valeurݑାଵ, du premier tableau porte la valeur , la même caseݑdeuxiè du ainsi de suite, on complète les deux autre tableaux. En fin, pour cet exemple on peut tirer les remarques suivantes : 1S1= 51 S2S= 54 3S= 57 4= 60 2S1+ S2S= 105 3+ S4S= 117 1+ S4= 111 S2+ S3= 111 2 3S1= ST .base+ 4x3 4S2= S1+3 S3= S1+2x3 S4= S1+3x3 Après traitement de ces remarques on peut conclure : 1de sommes égalesTous les tableaux sont 2 2S1= ST .base+ 4xn 3S2= S1+n S3= S1+2n S4= S1+3n Remarqueconfondre entre n (indice de la suite numérique) et n (indice de nombre de: il ne faut pas colonnes du tableau de base)
Alors : ܵ ܵ ܵ ݊ ଵ+ଶ= 2ଵ+ ൜→ ܪݎ݅ݖ݊ݐ݈ܽܵ ܵ ଷ+ସ= 2ܵଵ+ 5݊ ܵ+ܵ= 2ܵ+ 3݊ ଵ ସ ଵ ൜→ ݒ݁ݎݐ݈݅ܿܽܵ ܵ ܵ ݊ ଶ+ଷ= 2ଵ+ 3 On voie que les valeurs verticales sont de sommes égales, reste à corriger les sommes horizontales. Nous avons dis précédemment que la somme S doit vérifier ଶ ܰ(ܰ+ 1) ܵ=ܽݒ݁ܿܰ= 62 ଶ 6(6 + 1) ܵ3 × 37 = 111= = 2 Elle est vérifiée verticalement . Cas horizontal ܵ ݊ ܵଵ+ܵ= 2ଵ+ ଶ ൜ܵ ܵ ܵ ݊ ଷ+ସ= 2ଵ+ 5 (ܵ ܵ)ܵ ܵ)ܵ ݊ ଷ+ସ+ (ଵ+ଶ4ଵ+ 6 ܵ ݊ ܵ = = 2ଵ111+ 3 = = 2 2 )−(ܵ ܵ)݊ (ܵ+ܵସଵ+ଶ= 4ଷ Cette différence doit être devisée par deux pour arriver à une égalité de valeurs. D/2 = 4n/2 = 2n, pour n =3 ==> D/2 = 6 ݑ − ݑ ାଷ = 3 ܱ݊݀݊݊݁൜ݑ − ݑ ାଶ ାଵ= 1 Pour cela on a deux solutions : 1Une permutation de 2 colonnes entre T1et T42Une permutation de 3 colonnes entre T2et T3et une permutation d’une colonne entre T1et T4On va présenter la première solution 8 28 21 57 6 26 22 54 111 36 20 1 57 34 18 2 54 111 16 12 29 57 14 10 30 54 111 60 60 51 54 54 54 5 25 24 54 7 27 23 57 111 33 17 4 54 35 19 3 57 111 13 9 32 54 15 11 31 57 111 51 51 60 57 57 57 111 111 111 111 111 111 2 Le tableau final 6 d’égalités sera le suivant : 8 28 21 6 26 22 111 36 20 1 34 18 2 111 16 12 29 14 10 30 111 5 25 24 7 27 23 111 33 17 4 35 19 3 111 13 9 32 15 11 31 111 111 111 111 111 111 111 2 Tab .6 : Un tableau 6 d’égalités
2 2 A vous de jouer, réalisez un tableau 8 à partir du tableau de base 4 Voici le résultat final D/2 = 2n, pour n = 4 ==> D/2 = 8 20 44 53 13 18 42 55 15 260 48 24 9 49 46 22 11 51 260 64 8 25 33 62 6 27 35 260 4 60 37 29 2 58 39 31 260 17 41 56 16 19 43 54 14 260 45 21 12 52 47 23 10 50 260 61 5 28 36 63 7 26 34 260 1 57 40 32 3 59 38 30 260 260 260 260 260 260 260 260 260 4.Conclusions et perspectives Par cette étude, on a confirmé l’existence des tableaux que je les nomme « tableaux d’égalités », cela 2 quelque sois le nombre naturel N La somme d’égalité est donnée par : మ ே ∑ ݅ ୀଵ ܵ=ܰ 2 Non seulement une suite numérique de la forme 1,2…., N , peut former ces tableaux, mais toutes suite numériques de la forme. ݑ=ݒ ଵ ∗ ቄܽݒ݁ܿݒ∈ ℕ݁ݐݎ∈ ℕݑ ାଵ=ݑ +ݎ Une différence entre les tableaux avec N impair et N paire est bien marquée, la réalisation des tableaux « N impair » d’égalités est facile, tandis que cette dernière sera difficile est demande un peut de calcul, de comparaison pour arriver à la forme finale du tableau pour tout N pair. Toute autre méthode basée sur le calcul scientifique est acceptée, je veux bien m’informer s’il y a d’autres idées.
