Elementare Arithmetik und Algebra

Elementare Arithmetik und Algebra von Dr. Hermann Schubert Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg 2 The Project Gutenberg eBook, Elementare Arithmetik und Algebra, by Hermann Schubert This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.net Title: Elementare Arithmetik und Algebra Author: Hermann Schubert Release Date: April 6, 2004 [eBook #11925] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 ***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTARE ARITHMETIK UND ALGEBRA*** Produced by Cornell University, Joshua Hutchinson, Arno Peters and the Online Distributed Proofreading Team. 3 Vorwort. Der vorliegende erste Band meiner im Verein mit vielen namhaften Fachgenossen begonnenen Sammlung mathematischer Lehrbücher enthält die elementare Arithmetik und Algebra, mit Einschluÿ der quadratischen Gleichungen und der Rechnungsarten dritter Stufe, aber mit Ausschluÿ der geometrischen Reihen, der Zinseszins-Rechnung, der höheren arithmetischen Reihen, der Kombinatorik, des binomischen Lehrsatzes, der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Kettenbrüche, der diophantischen Gleichungen, der binomischen Gleichungen und der kubischen Gleichungen. Diese Gebiete werden im fünften Bande der Sammlung, betitelt Niedere Analysis, Aufnahme nden. Hamburg, im November 1898. Hermann Schubert. 4 INHALTSVERZEICHNIS 5 Inhaltsverzeichnis I Abschnitt: Die arithmetische Kurzschrift. 1 Arithmetische Bezeichnungen. 2 Das Setzen der Klammern. 3 Der Buchstabe als Zahl. 8 8 13 17 II Abschnitt: Rechnungsarten erster Stufe. 4 Zählen und Zahl. 5 Addition. 6 Subtraktion. 7 Verbindung von Addition und Subtraktion. 8 Null. 9 Negative Zahlen. 22 22 26 33 38 44 46 III Abschnitt: Rechnungsarten zweiter Stufe. 10 Multiplikation. 11 Division. 12 Verbindung von Multiplikation und Division. 13 Verbindung der Rechnungsarten erster und zweiter Stufe. 14 Gebrochene Zablen. 52 52 65 72 75 81 6 INHALTSVERZEICHNIS IV Abschnitt: Anwendungen der Bechnungsarten erster und zweiter Stufe. 91 15 Formeln für die Umwandlung von Ausdrücken. 16 Entwickeln und Vereinfachen. 17 Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten. 18 Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. 19 Arithmetische Reihen. 20 Proportionen. 21 Eigenschaften der natürlichen Zahlen. 22 Zahl-Darstellung. 23 Dezimalbrüche. 91 98 101 115 125 128 135 141 147 V Abschnitt: Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen. 156 24 Quadrierung und Quadratwurzel-Ausziehung. 25 Irrationale Zahlen. 26 Imaginäre Zahlen. 27 Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. 28 Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 156 168 176 184 200 VI Abschnitt: Rechnungsarten dritter Stufe. 29 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 30 Wurzeln. 31 Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten. 216 216 223 234 INHALTSVERZEICHNIS 7 32 Logarithmen. 240 Anhang. 33 Das System der arithmetischen Operationen. 34 Die Erweiterungen des Zahlbegris. 35 Historisches. 36 Rechnungs-Ergebnisse bei den Übungen (mit Auswahl). 251 252 254 255 260 I. Abschnitt. Die arithmetische Kurzschrift. Ÿ 1. Arithmetische Bezeichnungen. Aus dem elementaren Rechnen hat sich seit dem 16. Jahrhundert eine bestimmte Zeichensprache entwickelt, deren sich die Arithmetik, d. h. die Lehre von den Zahlen, bedient. Diese Zeichensprache, die zugleich eine auf Übereinkunft beruhende Kurzschrift ist, wird in diesem Abschnitt an der Hand der Verbindung der natürlichen Zahlen durch die vier Species des Rechnens auseinandergesetzt. Jede Zahl muÿ in Bezug auf jede andere eine der folgenden drei Eigenschaften haben. Entweder sie muÿ ihr gleich oder gröÿer als sie oder kleiner als sie sein. Demnach besitzt die Arithmetik drei Vergleichungszeichen, nämlich =, >, <, die man beziehungsweise  gleich ,  gröÿer als ,  kleiner als  liest. Die beiden Zeichen ist. Für die Verbindung zweier Zablen durch eine der vier Species (GrundRechnungsarten) Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind die vier Zeichen: +, > und < unterscheide der Anfänger dadurch, daÿ er sich merkt, daÿ die Spitze des Vergleichungs-Zeichens stets auf die kleinere Zahl hin gerichtet −, ·, : üblich geworden, die man beziehungsweise  plus ,  minus ,  mal  und  durch  liest. Die Namen für die beiden durch jede der vier Species verbundenen Zahlen sowie für das in jedem Falle erhaltene Ergebnis gehen aus der folgenden Übersicht hervor: Arithmetische Bezeichnungen. 9 Name der vier Grundrechnungsarten: Beispiel: Die erste Zahl, hier 15, heiÿt: Die zweite Zahl, hier 3, heiÿt: Name des Ergebnisses: Summe Dierenz Produkt Quotient Summandus Subtrahendus Faktor Divisor Summandus Minuendus Faktor Dividendus Addition Subtraktion Multiplikation Division 15 + 3 = 18 15 − 3 = 12 15 · 3 = 45 15 : 3 = 5 Addition und Subtraktion heiÿen Grundrechnungsarten erster Stufe, Multiplikation und Division zweiter Stufe. Ferner heiÿen Addition uud Multiplikation direkte, Subtraktion und Division indirekte Grundrechnungsarten.Jede Grundrechnungsart läÿt aus zwei Zahlen eine dritte nden. Diese dritte Zahl kann entweder ausgerechnet dargestellt werden, wie in den obigen Beispielen 18, 12, 45 und 5 oder unausgerechnet, wie 15 + 3, 15 − 3, 15 · 3, 15 : 3. Unausgerechnet dargestellte Summen, Dierenzen, Produkte oder Quotienten nennt man Ausdrücke. Die drei Vergleichungszeichen wendet man auch bei Ausdrücken an. Man bezeichnet also einen Ausdruck als gleich einem andern, wenn er dieselbe Zahl darstellt, wie jener. Man nennt ferner einen Ausdruck gröÿer oder kleiner als einen andern, wenn er eine gröÿere bezw. kleinere Zahl darstellt, als jener. Zwei durch ein Vergleichungs-Zeichen verbundene Zahlen oder Ausdrücke bilden eine Vergleichung, und zwar ist die Vergleichung eine Gleichung, wenn das verbindende Zeichen das Gleichheitszeichen ist, eine Ungleichung, wenn dieses Zeichen das Gröÿer- oder das Kleiner-Zeichen ist. Bei einer Gleichung darf man die rechte und die linke Seite vertauschen, d. h. die Gleichung rückwärts lesen. Dabei ist das Gleichheitszeichen wieder mit gleich zu übersetzen. So lautet 15−3 = 12 rückwärts gelesen 12 = 15−3. 15 − 3 > 11 rückwärts gelesen Wenn man aber eine Ungleichung rückwärts liest, so ist kleiner statt gröÿer und gröÿer statt kleiner zu setzen. So ergiebt 11 < 15 − 3. 10 I. Die arithmetische Kurzschrift. Übungen zu Ÿ 1. Lies die folgenden Vergleichungen: 1. 2. 3. 4 = 4; 9 > 3; 43 < 44. 4. Drücke aus, dass 12 kleiner als 20 ist. Lies und berechne: 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 7 + 8; 13 − 5; 13 · 5; 28 : 7; 28 + 7; 8 − 7; 9 : 3; 10 · 10; 300 : 60. rechnungsart erster und bei welchen eine zweiter Stufe auftritt. 14. Unterscheide, bei welchen von den Ausdrücken 5) bis 13) eine Grund- 15. Bei welchen von den Ausdrucken 5) bis 13) tritt eine indirekte Grundrechnungsart auf ? Suche in den Ausdrücken 5) bis 13): 16. die Summanden; 17. die Minuenden; 18. die Subtrahenden; 19. die Faktoren;