cours-eqa-audiff
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Equations aux diff´erences§ 1. Quelques exemplesa) Monsieur Ponce Pilate met a` la banque 5 deniers-or en l’an z´ero avec un int´erˆet annuel de 1%. Combienvont retirer ses descendants en 2003 ?On peut r´esoudre le probl`eme de la mani`ere suivante :posons y(t) la fonction donnant le capital apr`es t ann´ee. Il est ´evident que si t>0, on a y(t +1) = y(t)+0,01 · y(t)=1 ,01 · y(t)ety(0) = 5. En fait, la fonction y(t) est l’inconnue, l’´equationy(t+1)=1,01· y(t) est une ´equation aux diff´erences et le fait que y(0) = 5 est appel´e condition2initiale.Partantdel’´equation encadr´ee, on voit que y(1) = 1,01· y(0), y(2) = 1,01· y(1) = 1,01 · y(0).t 2003Et de mani`ere g´en´erale, y(t)=y(0)· 1,01 . Ce qui veut dire que y(2003) = 5· 1,01 qui est plus de 2milliard de deniers-or !b) D´ecroissance de la masse radioactive d’une substance. Posons m(t) la masse radioactive restante apr`es tann´ee. L’exp´erience montre que m(t)suitl’´equation aux diff´erence suivante : m(t+1)− m(t)=−km(t)o`u k est une constante positive d´ependant de la substance. D´eterminons m(t) si la substance est du radiumet que sa demi-vie est de 1600 ans.L’´equation encadr´ee est ´equivalente a` m(t+1) = (1−k)·m(t). Par un raisonnement analogue au pr´ec´edentt 1600 1exemple, on en d´eduit que m(t)=m(0)· (1− k) . D’autre part, m(1600) = m(0)· (1− k) = · m(0).2 1 t1 1600 1 1600. Ce qui veut dire que m(t)=m(0)· .D’ou(` 1− k)=2 2c) Les tours de Hanoi.C’est `a une vieille l´egende indienne ...
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§1.
Equations
Quelques exemples
aux
diffe´rences
a)MonsieurPoncePilatemeta`labanque5deniers-orenl’anz´eroavecunint´erˆetannuelde1%.Combien
vont retirer ses descendants en 2003 ?
Onpeutr´esoudreleprobl`emedelamanie`resuivante:
posonsy(t)lafeltnannodnoitcnos`eprlatapicateaenn´.
1) =y(t) + 0,01∙y(t) = 1,01∙y(t) ety(0) = 5.
Ilest´evidentquesit >0, on ay(t+
En fait, la fonctiony(titno’ltse)nnueincoequa,l’´
y(t+ 1) = 1,01∙y(terff´ceennaiodiuxe´entauq)utseqteuesltfeiayel´e()0=5estappcondition 2 initialetiuaeq’´eltdanrtaP.eitqunoove´,eacrdnoney(1) = 1,01∙y(0),y(2) = 1,01∙y(1) = 1,01∙y(0). t2003 Etdemani`erege´n´erale,y(t) =y(0)∙1,Ce qui veut dire que01 . y(2003) = 5∙1,est plus de 201 qui
milliard de deniers-or !
b)De´croissancedelamasseradioactived’unesubstance. Posonsm(te`rpssaesaridl)maestanteaoactivert
anne´e.L’exp´eriencemontrequem(tuivancesnte:uanoitauere´ffidx)seq’´tlui
m(t+ 1)−m(t) =−km(t)
o`ukD.e´etmrninosantdelasubstancesopevitie´dednepesnetunsconttam(t) si la substance est du radium
et que sa demi-vie est de 1600 ans.
L’e´quationencadre´eeste´quivalente`am(t+1) = (1−k)∙m(tre´meecn´teadneanlrogauiesaounpn.)aPurtn t1600 1 exemple,onend´eduitquem(t) =m(0)∙(1−k) . D’autre part,m(1600) =m(0)∙(1−k) =∙m(0). 2 1t 1160011600 D’ou`(1−k. Ce ) = qui veut dire quem(t) =m(0)∙. 2 2 c) Les tours de Hanoi.
C’est`aunevieillel´egendeindiennequel’ondoitl’histoiredujeudelatourdeHanoi.Cettel´egende
raconte que ...
Sousledˆome,toutenord’ungrandetmerveilleuxtemplesitu´eexactementa`l’emplacementducentre
dumonde,danslavilledeBe´nares,setrouve,plant´edansunebaseencuivre,troisgrandestigesde
diamant,finescommeledardd’uneabeille.Empil´esl’unsurl’autreetenfil´esdanslatigesetrouvanta`
l’extre´mit´egauche,64disquesfragilesenor.Leplusgranddisqueestendessous,les63autresdisques
sontdispose´spardessus,enordred´ecroissantdediame`tre,formantainsiunetourpyramidale.Latour
deBrahmˆa.
Lesmoinesvivantdanscetempleontcommetˆachedetransf´ererlatourde64disquesdelatigedegauche
surlatigededroite,toutenrespectantlar`egledeBrahmaˆ:unseuldisque`alafoisetjamaisungrand
plateausurunpluspetit.Ondoittoujoursde´poserundisqueenl’enfilantdansunetige.
C’esta`cesmoinesquerevientlelourdfardeauded´eclencherlafindenotremonde.Quandleurtravail
serafini,lemondes’effondreraenpoussi`ere. ´ S’inspirantdecettehistoirelemathe´maticienfranc¸aisEdouardLucaspublialejeudelatourdeHanoi
MMnna2ee´5-000620
1
dansundesquatrevolumessurlesdivertissementsmathe´matiques.Laversionoriginaledujeusefaitavec
huitdisquesempil´es,nousjoueronsavecdesversionsplussimples,3,4ou5disques.Lucaspubliasousle
nomdeClausquiestobtenuenre´organisantleslettresdesonnom.Voil`abienunespritmath´ematique.
Lucasde´montraquepour
refairelatourdeBrahmaˆilfaudra584milliardsd’anne´es.
On estime
aujourd’huil’ˆagedel’universa`15milliardsd’ann´ee,ilvousrestedoncencorebiendutempspour
jouer`alatourdeHanoi,soitencore38foisl’ˆageactueldel’univers.Voyonspluspr´ecise´mentdequoiil
retourne :
aulieudeprendre8ou64disques,prenons-en3etvoyonscommentilestpossibledeproc´eder
a
a
a
b
0
b
3
b
6
c
c
c
a
a
a
b
1
b
4
b
7
c
c
c
a
a
b
2
b
5
c
c
Onvoitdoncqu’ilestpossibleded´eplaceruntasde3disquesen7coupsetonpeutseconvaincre
facilementqu’iln’estpaspossibledefairemieux.Sivousn’ˆetespasconvaincu,lisezlasuite.
2
Posonsy(tenombrem)lpuocuopsminiedmuer´erdacpltanneaux de la tigeagiealat`cI.elntivedtse´
quey(1) = 1 ety(2) = 3.
On a vu que vraisemblablementy(3) = 7.
Nousallonsproc´ederparun
raisonnement parrecncecreu´. Supposons connuy(t−1) et essayons de calculery(tsonseresInt´).uon-uas
disquedubas.Ilfautbiena`unmomentdonn´eled´eplacerdelatigeaigatal`ec. Avant cela, il aura
falluy(t−edtnitalegsspar´episecme´eagegdee´sino.ruP1)coourlupspaige`talac. Finalement, il faut
encorey(t−1) coups pour terminer le processus. Doncy(t) =y(t−1) + 1 +y((t−1). Ce raisonnement
estillustr´eci-dessous
a
a
b
0
b
y(t−1) + 1
c
c
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
a
a
b
y(t−1)
b
c
c
y(t) =y(t−1) + 1 +y(t−1)
Onadoncl’´equationauxdiff´erencessuivante:y(t) = 2y(t−verrons plus tard une. Nous 1) + 1 t−1 me´thodege´n´eralepourre´soudrecetyped’´equation.Maissupposonsquel’onsachequey(t−1) = 2−1, t−1t cequiestve´rifie´pourt= 1 ou 2. Alorsy(t) = 2y(t−1) + 1 = 2∙(2−1) + 1 = 2−1.
Ainsi,pourrevenirauproble`meorigineldestoursdeHanoi,siond´eplaceundisqueparseconde(y 64 compris la nuit !), cela fait 2−e1p=r1´8quirtebiesen769501053175d7ns4e44eso6c4lim485nesdrail
d’anne´es!!
§2.
De´finitionsetpremiersr´esultats
Remarquonsde´ja`unepremi`erechose,pastr`esfacilea`comprendre,maisassezimportante:unesuitede x nombresestenfaitunefonction,maisonlanotediffe´remment.Parexemplesionposef(x) = 3 , on
∞n xLa= 3 , on voit cela comme une suite. voit cela comme une fonction. Mais si on pose (xn)n=1avecn seulediffe´rence,c’estquepourunesuite,l’ensembleded´epart(lesndesxn) sont des entiers positifs, alorsquepourlesfonctions,l’ensembledede´partesta prioritouslesneesl.morbse´r
Ainsil’e´quationauxdiff´erencespeuts’e´crirey(t) = 5∙y(t−ou alors1) + 4 xn= 5∙xn−1Dans le+ 4.
premiercas,onchercheraunefonctionetdanslesecond,onchercheraunsuite.Maislesm´ethodesde
3
