What is cubature Archimedes and Sobolev High dimensions High degree Open problems

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What is cubature? Archimedes and Sobolev High dimensions High degree Open problems Cubature from geometry and coding theory (Generalizations of Simpson's rule) arXiv:math/0402047 arXiv:math/0405366 arXiv:math/0408360 Greg Kuperberg UC Davis and Institut Fourier September 25, 2010

dimensions high degree

greg kuperberg

sobolev high

coding theory

higher dimension

oscillating weights

simpson's rule

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hWtasiucabuter?rAhcmidesenadoSbloveiHhgdmineisnosiHhgdgeereCubaturefromgeometryandcodingtheory(GeneralizationsofSimpson’srule)pOearXiv:math/0402047arXiv:math/0405366arXiv:math/0408360GregKuperbergUCDavisandInstitutFourierSeptember25,2010nrpboelsm

hWtasiucabuter?rAhcmidesenadoSbloveiHhgdmineisnosiHhgWhatisnumericalcubature?dgeereOGivenX⊆Rnanda(normalized)measureµonX,wewanttoestimate:ZXf(x~)dµ≈f(F)=wkf(~pk).XkWewanttochooseFsothattheformupolynomials.ExampleSimpson’srule:alsixecatofr1Z0f(x)dx≈61f(0)+32f(21)+61f(1).osempenSimpson’sruleisexactiff∈R[x]≤3.Onesaysquadratureinonedimensionandcubatureinhigherdimensions.rpboelsm

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