Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Espaces euclidiens, orthogonalite, longueur. Moindres carres. On travaille avec le corps des reels, note R. Pour tout entier naturel n, on considere l'ensemble des n-uplets de reels que l'on designe par Rn : ainsi, un element ~x de Rn est une famille de reels (x1, x2, . . . , xn). Noter que R0 ne contient qu'un element, la famille vide, que l'on note 0. L'ensemble R1 se ramene a R. On appelle souvent ~x un vecteur en reference a la structure d'espace vectoriel sur Rn. (Voir 10.1 pour la definition de cette structure). 1. Produit scalaire dans Rn. Etant donnes deux vecteurs ~x et ~y de Rn, on considere le nombre reel x1y1 + . . . + xnyn = n∑ i=1 xiyi que l'on appelle produit scalaire de ~x et ~y et que l'on note ?~x | ~y?. On verifie tres facilement les proprietes suivantes : pour tous ~x, ~x?, ~x”, ~y, ~y?, ~y” de Rn, pour tout ? scalaire reel, on a (1) Le produit scalaire est bilineaire ?~x? + ~x?? | ~y? = ?~x? | ~y?+ ?~x?? | ~y? ?~x | ~y? + ~y??? = ?~x | ~y??+ ?~x | ~y??? ??
- produit scalaire
- inegalite de cauchy-schwarz
- rn ?rn ??
- famille libre
- restriction de ?
- projection orthogonale