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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Feuille-question du TP 4 Systeme dynamiques lineaires du plan et linearise d'un systeme non-lineaire 1 Un premier systeme d'equations differentielles lineaires Considerons le systeme d'equations differentielles lineaires en les fonctions inconnues t 7? x(t) et t 7? y(t) suivant : { x? = ? 13x? 2 3y y? = ? 23x? 1 3y (1) 1. Montrer que (x1(t), y1(t)) = (e?t, e?t) est une solution du systeme (1). Indication : commencer par evaluer le membre de droite de chaque equation. Donner l'equation de la droite D1qui contient tous les (x1(t), y1(t)) ; indiquer quels points D+1 de cette droite sont atteint pour les t ≥ 0 et quels points D?1 sont atteints pour les t ≤ 0 ? 2. Montrer de meme que (x2(t), y2(t)) = (?e t 3 , e t3 ) est une solution du systeme (1). Donner l'equation de la droite D2 qui contient tous les (x2(t), y2(t)) ; indiquer quels points D+2 de cette droite sont atteint pour les t ≥ 0 et quels points D?2 sont atteints pour les t ≤ 0 ? 3.

function yprim

representer en rouge et en bleu

trajectoire de condition initiale

vision geometrique du systeme

droite d1

segments de trajectoires choisies

systeme d'equations differentielles

equation

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Équation

Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

L3MASS,anne´e2011-2012 . .

Feuille-question du TP 4 Syste`medynamiquesline´airesduplanetlin´earis´ed’unsyste`menon-lin´eaire

1Unpremiersyste`med’e´quationsdiﬀe´rentiellesline´aires Conside´ronslesyst`emed’e´quationsdiﬀe´rentielleslin´eairesenlesfonctionsinconnuest7→x(t) et t7→y(t) suivant :  01 2 x=−x−y 3 3 02 1(1) y=−x−y 3 3 −t−t 1. Montrerque (x1(t), y1(t)) = (e ,etuessone)raprecnemmocation:c(1).Indiystse`emulitnoud e´valuerlemembrededroitedechaquee´quation. + Donnerl’´eqde uation de la droiteD1qui contient tous les (x1(t), y1(t)) ;indiquer quels pointsD1 − cette droite sont atteint pour lest≥0 et quels pointsDsont atteints pour lest≤0 ? 1

t t 3 3 2.Montrerdemˆemeque(x2(t), y2(t)) = (−e ,enuqe´oitatues)noudystsenosulitDonnerl’`eme(1). + de la droiteD2qui contient tous les (x2(t), y2(t)) ;indiquer quels pointsDde cette droite sont 2 − atteint pour lest≥0 et quels pointsDsont atteints pour lest≤0 ? 2

3.Lesinstructionssuivantesdonnentunevisionge´ome´triquedusyst`eme(1)sousformed’unchamp de direction : A=[-1/3,-2/3 ;-2/3,-1/3] ; function www=WWW(t,V); www=A*V; endfunction; xset("window",0) ; xMin=-1 ;xMax=+1 ;yMin=-1 ;yMax=+1 ; fchamp(WWW,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); Repre´sentersch´ematiquementcechampdedirection,enrepr´esentantlesdroitesD1etD2, indiquant ± ± ensemblesDetD le sens de parcours les solutions (x1, y1) et (x2, y2) et les sous-1 2.

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