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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Salle et heure : . Feuille-question du TP 5 Systeme de Lotka-Voltera, son linearise, sa perturbee 1 Le systeme de Lotka-Voltera Considerons le systeme d'equations differentielles { x? = x(1? 2y) y? = ?y(1? 2x) (1) Le code Scilab suivant permet d'en esquisser le champ et en tracer des trajectoires. clear; //////////////// Lotka-Voltera xset(window,0); function xprim=f(x,y); xprim=x*(1-2*y); endfunction; function yprim=g(x,y); yprim=-y*(1-2*x); endfunction; function vprim=www(t,v); vprim=[f(v(1),v(2)),g(v(1),v(2))]'; endfunction; xMin=0;xMax=+1;yMin=0;yMax=+1; fchamp(www,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); a=gca(); a.data bounds=[xMin,yMin;xMax,yMax]; Tmax=10;M0=[1.1,1.1]; N=100;petitpas=Tmax/N; t=0 :petitpas :Tmax; for numerotraj

function yprim

points stationnaires

scilab

systeme de lotka-voltera

solution au systeme

scilab pour le linearise

linearise du systeme au voisinage du point

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Scilab

Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :

Date : Salle et heure :

L3MASS,anne´e2011-2012 . .

Feuille-question du TP 5 Syste`medeLotka-Voltera,sonlin´earis´e,saperturbe´e

1Lesyst`emedeLotka-Voltera Conside´ronslesyste`med’´equationsdiﬀe´rentielles  0 x=x(1−2y) 0 y=−y(1−2x) Le codeScilabsuivant permet d’en esquisser le champ et en tracer des trajectoires. clear ; //////////////// Lotka-Voltera xset("window",0) ; function xprim=f(x,y); xprim=x*(1-2*y); endfunction; function yprim=g(x,y); yprim=-y*(1-2*x); endfunction; function vprim=www(t,v); vprim=[f(v(1),v(2)),g(v(1),v(2))]’ ; endfunction ; xMin=0 ;xMax=+1 ;yMin=0 ;yMax=+1 ; fchamp(www,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); a=gca() ;a.data bounds=[xMin,yMin;xMax,yMax] ; Tmax=10 ;M0=[1.1,1.1] ; N=100 ;petitpas=Tmax/N ; t=0 :petitpas :Tmax; for numerotraj=1 :10 M0=[rand(),rand()]’ ; M=ode(M0,0,t,www) ; x=M(1, :);y=M(2, :); plot(x,y) ; end ; 1. Esquissezdes solutions. Quel est le comportement des solutions?