Universite Claude Bernard Lyon Annee Kholles d'algebre Fiche
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Universite Claude Bernard (Lyon 1) Annee 2008-2009 Kholles d'algebre Fiche 3 Calcul de polynomes caracteristiques/ valeurs propres Dans la suite, tous les espaces vectoriels consideres sont de dimension finie. Par ailleurs, si A est une matrice et u un endomorphisme, on designera par PA et Pu les polynomes caracteristiques de A et u. Questions de cours 1. Donner la definition du polynome caracteristique d'un endomorphisme f ? L(E). (L'etudiant devra verifier que cette definition a un sens en montrant que le polynome caracteristique d'une matrice est un invariant de similitude...). 2. Donner les definitions des valeur propre, vecteur propre, spectre d'un endomorphisme. Que dire de la somme des sous espaces propres d'un endomorphisme ? Montrez le. En deduire la finitude du spectre. 3. Soit f ? L(E). Montrer que ? ? Sp(f) si et seulement si Pf (?) = 0. En deduire la finitude du spectre. 4. Donner les definitions des multiplicites algebrique et geometrique d'une valeur propre. Quelle inegalite les relie ? Demonstration. 5. Soient f ? L(E) et F un sous e.v. strict de E. Soit g = f|F la restriction de f a g. Montrer que g ? L(F ) et Pg divise Pf .
Voir
- matrice de ? dans la base canonique de rn
- theoreme de caracterisation des endomorphismes diagonalisables
- calcul de polynomes caracteristiques
- endomorphisme de r3 defini
- endomorphisme
Universit´eClaudeBernard(Lyon1) Khoˆllesd’alge`bre
Ann´ee2008-2009 Fiche 3
Calculdepolynoˆmescaract´eristiques/valeurspropres
Danslasuite,touslesespacesvectorielsconsid´ere´ssontdedimensionfinie.Parailleurs,siAest une matrice etu´dno,emsihpromodunenrparaneigesPAetPutcarire´qitsdseuesllypoomnˆcaeseA etu.
Questions de cours
1.Donnerlade´finitiondupolynoˆmecaracte´ristiqued’unendomorphismef∈ L(Etu(t.e’´Lnai)d devrave´rifierquecetted´efinitionaunsensenmontrantquelepolynoˆmecaracte´ristiqued’unematrice est un invariant de similitude...).
2.Donnerlesd´efinitionsdesvaleurpropre,vecteurpropre,spectred’unendomorphisme.Quedire delasommedessousespacespropresd’unendomorphisme?Montrezle.Ende´duirelafinitudedu spectre.
3. Soitf∈ L(E). Montrer queλ∈Sp(f) si et seulement siPf(λeriunfialnE.0de´d)=uditued spectre.
4.Donnerlesde´finitionsdesmultiplicite´salg´ebriqueetge´ome`triqued’unevaleurpropre.Quelle ine´galit´elesrelie?D´emonstration.
5. Soientf∈ L(E) etFun sous e.v. strict deE. Soitg=f|Fla restriction def`ag. Montrer que g∈ L(F) etPgdivisePf.
6.Donnerlad´efinitiond’unendomorphismediagonalisable.Enoncerleth´eor`emedecaracte´risation des endomorphismes diagonalisables.
7. SoientEe.v. de dimensionnetf∈ L(E). On suppose quefadmetnvlauesrpropresdeux`a deux distinctes. Montrer quefest diagonalisable.
Exercices I Exercice 1 3 Soitfl’endomorphisme deRefid´nif(x, y, z) = (x+y+z,2y, z). 1)Calculerlesvaleurspropresetd´eterminerlessous-espacespropresdef. 2) Est-ce quefest diagonalisable? Si oui, diagonaliserf.
Exercice 2 3 3 Soitfl’endomorphime deRdont la matrice dans la base canonique deRrpaee´nnodtse 5 1−1 A4= 2−2. 1−1 3 1.De´terminerlespectredefqueuired´ed.Enfest diagonalisable. 3 2. Donner la matrice defdans une base deRpos´eedeecomrppoerdsevtcuesrfr´npisecqu’oel.are
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