UNE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE CHERN–SIMONS

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UNE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE CHERN–SIMONS GWENAEL Resume. Cette note, informelle et imprecise, accompagne un expose donne le 30 jan- vier 2008 au « Seminaire G3 » a Strasbourg. Nous presentons l'article ou Chern et Simons introduisent les formes et les invariants qui portent desormais leurs noms. Table des matieres 1. Introduction 1 2. Rappels sur les classes caracteristiques 2 2.1. Varietes de Stiefel complexes 2 2.2. Classes de Chern 3 2.3. Classes de Pontrjagin 3 3. Rappels sur la theorie de Chern–Weil 3 3.1. Connexion et courbure 4 3.2. Conventions pour les produits exterieurs 5 3.3. Polynomes invariants 5 3.4. L'homomorphisme de Weil 6 3.5. Classes caracteristiques et courbure 7 4. Formes de Chern–Simons 9 4.1. Definition 9 4.2. Quelques proprietes 10 4.3. Integralite 11 5. Applications a la geometrie riemannienne 12 5.1. Rappels sur les connexions riemanniennes 12 5.2. Invariance conforme 13 5.3. Immersion conforme dans les espaces euclidiens 13 6. Invariants de Chern–Simons 14 6.1. Rappels sur l'espace des connexions 14 6.2. La fonctionnelle de Chern–Simons 14 6.3. Le cas SU(2) en dimension 3 15 6.4. Le cas SO(3) en dimension 3 16 6.5. Un invariant des varietes riemanniennes de dimension 3 17 References 17 1. Introduction Soit M une 3-variete lisse fermee orientee et soit A ? ?1(M ; su(2)), une 1-forme sur M a valeurs dans su(2).

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rappels sur l'espace des connexions

courbure

rappels sur les classes caracteristiques

connexion

polynomes invariants

classes de pontrjagin

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UNE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE CHERN–SIMONS ´ ¨ GWENAEL Resume´. Cettenote,informelleetimpr´ecise,accompagneunexpos´edonne´le30jan-´ vier 2008 au « Seminaire G3 » a`Strasbourg.Nouspre´sentonsl’articleou`Chernet ´ Simonsintroduisentlesformesetlesinvariantsquiportentde´sormaisleursnoms.

` Table des matieres 1. Introduction 2.Rappelssurlesclassescaract´eristiques 2.1.Varie´t´esdeStiefelcomplexes 2.2. Classes de Chern 2.3. Classes de Pontrjagin 3.Rappelssurlath´eoriedeChern–Weil 3.1. Connexion et courbure 3.2.Conventionspourlesproduitsext´erieurs 3.3.Polynoˆmesinvariants 3.4. L’homomorphisme de Weil 3.5.Classescaract´eristiquesetcourbure 4. Formes de Chern–Simons 4.1.De´ﬁnition 4.2.Quelquespropri´et´es 4.3.Inte´gralit´e 5.Applicationsa`lage´om´etrieriemannienne 5.1. Rappels sur les connexions riemanniennes 5.2. Invariance conforme 5.3. Immersion conforme dans les espaces euclidiens 6. Invariants de Chern–Simons 6.1. Rappels sur l’espace des connexions 6.2. La fonctionnelle de Chern–Simons 6.3. Le cas SU(2) en dimension 3 6.4. Le cas SO(3) en dimension 3 6.5.Uninvariantdesvari´et´esriemanniennesdedimension3 R´efe´rences

1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 7 9 9 10 11 12 12 13 13 14 14 14 15 16 17 17

1. Introduction Soit M une3-vari´ete´lisseferme´eorient´eeetsoit A ∈ Ω 1 ( M ; su (2)), une 1-forme sur M `avaleursdans su (2). On pose (1.1) CS( A ):=81 π 2 Z M Tr  d A ∧ A +23 A ∧ A ∧ A  ∈ R . 1

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