Travaux dirigés de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Indications pour les TD Equations différentielles (fin) et Coniques

0f (1−x) f(x)
0f (x) =f(1−x)
1 π
f(x) =Acos(x− − )
2 4
A
u = sinx g(x) = f(sinx)
g(x) p
2f(u) =Au+B 1−u
A,B
f(0) = 0 f
f(0) = 1 f (f(a) =f(−a)
x
00 00 00f (x+y)+f (x−y) = 2f (x)f(y)
00 00x 0 2f (y) = 2f (0)f(y)
f(0) = 1
t7→ cos(At) t7→ (At) A
d(M,D) =d(M,F)/e M1
R =d(M ,F)/e M R =d(M ,F)/e1 1 2 2 2
F
e< 1
n = 3 P P
e< 1
e > 0 a b a > b
e = 0 F ∈D
e < 1 e = 1
e> 1
otrOn.de,ilettoserfop?eutcorresppcercOndeux).)Sipasoncd?yrivneedesdeuxoirfoisetitlalerelationbleparterappcommortn?faut4.parab,laonprendtreopuvaeSupp.unequelconqueeutr?elleteataconstanondunesec?vpasapalorsouto?sonunesdecerclessolutionsl'autreLesestr?soudre.t?eutfacileettr?salorsordre,cesecondts,duontiellepnquedi?reyOnprempl?acec?quationsoitparuneuneoetMaisonoirtrouvleseesttvobtienneonou,Sinon,parquaremplacepqu'onlepuisorresplation,nreourladroiteseplusd?rivuneont.Sia.tangenC'es(letn'yunetes?quationedi?renlorsqu'untiellecompl?temendut?rieursecond5.ordrefonction,Pquipestdefacileon?ler?soudre.treIltfautOnbienles?rest?liminerSilespsolutionsdeuxquitsnesesonentts,pasalorspairespoulequiEnnetroisi?vt,?rienivtrparil3.6.14que?ossible.nn'est.oleAuypnal,e,ondetrouvneeaquetlesafonctionspsescdemi-grandhercunh?esilsonct.:plus1.ossibilit?sLaofonctionbienconstan.tecas,nionulleun,t2.er).Lescfonctionsl'?quationTD?14,15,16(p?constanndroiteTDlales?,our3.nonLesr?duifonctions?ourseulpoincDonchyIndications0,1math?matiques2destes,unesacasvileactangenran?aiscommunesconstanpr?seteter?elledesquelconque.estTDtnl'in?de15cercle).4.IlPuisqueprendrel'elluneipse.estourd'?quationhaqueFoin1epr?paratoirelacycleole,dupsemestretracerDeuxi?mecerclecen?kinquePtangende?traledirectrice.Censaitunque,folaerdirectricsurecercle.doiton?tredeuxtangenointelesaucerclescercleondandevcenttrecoupdi?renrtielledeuxetoindeilraresteypluso2nossibilit?ssimpleoursifoqueer.oirprenanvuneutmepoinOnon5.rrlconques.equed?cide.lequelDedeuxm?mefautellehoisir.doitNon.?treosonstacengenpteUnaulecerclepasdeparabcenoutrehr?elleserbtesletdoncdevra.yonopnpasconstanvdeuxfaciled'inconn?galemenuececrvelliaon.unLesaxesolutionsetsondemi-p.axeC'estadonceuneettangenlteIlcommresteuneque?pces:deuxbiencercles.rsOnouremarqueonaussiulle.queDanstpremierestl'??tl'incorrespt?rieur?desseuldeuxoince(lercles,yparceDansquedeuxi?meuvapaire,).ctondL'inl'ensemtersevidectionourdestedeux),cerclesunen'est(pdoncfonctionjamaisestvide,ouetdeuxelle(pn'estalorsune,onBref,?quationn'obtien.jamais?colecercle.2 2 2 2(x,y) M x /a +y /b M
2 2~n = (x/a ,y/b ) MF MF1 2
−−→ −−→
~n·MF ~n·MF1 2
=−−→ −−→
||~n||·||MF || ||~n||·||MF ||1 2
√−−→ −−→2 2 2 22 2~n·MF = (x/a )(x +c) + (y/b )y = 1 +xc/a c = a −b ~n·MF = 1−xc/a1 2
−−→ −−→2 2||MF || =e·d(M,D) =e((a /c)+x) ||MF || =e((a /c)−x)1 2
2 2c/a c/a
=
e||~n|| e||~n||
2 2 2 2 2 2 2 2x /a −y /b = 0 x /a −y /b = 1
y =kx+l (AB) A,B
2 2x (kx+l)
− = 1
2 2a b
P,Q
2 2x (kx+l)
− = 0
2 2a b
[A,B] [P,Q]
A,B P,Q
A,B P,Q
2 2 2 2A,B x /a −y /b = 1
2 2 2 2P,Q (AB) x /a −y /b = R R
A,B P,Q
D Ax+By+C = 0 M(x ,y )0 0
D
|Ax +By +C|0 0
d(M,D) = √
2 2A +B
bx±ay = 0 M(x ,y )0 0
0MH·MH
2 2|(bx +ay )(bx −ay )| a b0 0 0 0
=
2 2 2 2a +b a +b
2 2(x,y) (x/a ,y/b )
2 2(OM) M (x ,y ) xx /a +yy /b = 00 0 0 0
(x,y) =±(ay /b,−bx /a)0 0
MOP (x,y) (x ,y )0 0
(ab)/2
2 2 2 2OM +OP a +b
Maislasommaestesteundemons?abscissesendequelvaC'estest.?galet?facilelavsommeC'estdesoseabsciprossesni.deautretensonqu'iltenormale,acar.lestrerdeuxle?quationsOnduesectrouvo?kinndvdegr?.ci-dessuserbonl'htsonletsLm?mesDecote.ecienmtsv(saufIllevtermetconstanlest,nousmaisla,ionlfaitn'a.pasqued'impleortance.plaourd?terminanlatsomme?despr?paratoiresolutions).sommeC'estvnioG?n?ralisationque?videnonteest(mercil'h?alorsC?cileerbdualorsgroupd'?quationeLes2et!)de:relationSietune.C'esto?sonunetLadeuxtrerpl'oinpartsteursurcll'hduitsyepqueerbooleerpign?s).aoutilipe4plesco(carourdeecabscisseseutdesm?mesennelayfaut,estetvmoecteurladirig?e?l'ellipse.leslapduoind'?quationtsded'inabsoluetersectiondesdel'ellipselaetdroite3.?gale.estTDdeduat.vDeuxi?meecdel'ensemCenble,d'?quationnissesoitabscsidessuppenneSiyd'?quationmoolelasurqueyptrerole,monlededuit,ypaquev,ecautsuttuneasymptotesconstan4.tec'estr?ellealorsquelconque,vienatrerl?orsale.milieuc?t?,deD'unilm?me,.estMais?galbienauconstanmilieu6.denormaledequemilieuonausur.ellipse5.dirig?eOnlepeceutfaututiliserairleestfaiscalaires.tproqueCommsion?galeutestlaunesdroiteid'?quationpestendiculairedelmilieudroiteleserqueallonstrervmoncourle,oinalorsdelaordonn?esdistancecedePPetdegr?,secondvduv'?quationanglesllesdenormalesolutionsque?monlaIldroiteIlesalorsestdedonn?oirp.arvlaparformestuleEll?tnormalesonregardedeL'aireabscissestriangleLes.degr?estsecondmoiti?dulal'?quationaleurdedusolutionstlesvtcteurssonsurdeoinabscissesplesSoitalors16,ndroiteOnlaede2Puisquecycleles.asymptotesconstansonLatsemestred'?quationscart?sienneP?quationtraleuneautesti?colents.A,B,Paussi,constanQ.