Sujet Oraux : Polytechnique, Oraux X Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 03044 ][correction]
SoitEun ensemble. Montrer queEest infini si, et seulement si, pour toute
fonctionf:E→E, il existeA⊂EavecA6=∅etA6=Etelle quef(A)⊂A.

Exercice 2[ 03040 ][correction]
Quelle est l’image du cercle unité par l’applicationz7→1?
1−z

Exercice 3[ 03107 ][correction]
SoitBune partie bornée non vide deC.
On suppose que siz∈Balors1−z+z2∈Bet1 +z+z2∈B.
DéterminerB.

Exercice 4[ 03353 ][correction]
Soientn>3,ω1     ωnles racinesn-ième de l’unité avecωn= 1.
a) Calculer pourp∈Z,
n
Sp=Xωip
i=1

b) Calculer

n−11
T=X
i=11−ωi

Exercice 5[ 03352 ][correction]
Soienta b ctrois complexes distincts vérifiant

|2a−b−c|=|2b−a−c|=|2c−a−b|

Montrer que le triangle dont les sommets ont pour affixesa b cest équilatéral.

Exercice 6[ 03043 ][correction]
SoitEun ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne
associative notée>.
Montrer qu’il existee∈Etel quee>e=e.

Enoncés

1

Exercice 7[ 03351 ][correction]
Soienta b∈N {01}etn∈N?.
On suppose quean+bnest un nombre premier. Montrer quenest une puissance
de 2.

Exercice 8[ 03039 ][correction]
Soitz∈Cavec|z|<1. Existence et calcul de
n
nl→i+m∞Y 1 +z2k
k=0

Exercice 9[ 03048 ][correction]
Etudier la suite(zn)n>0définie parz0∈Cet
∀n∈Nzn+zn+2|zn|
1=

Exercice 10[ 03234 ][correction]
Soit(un)une suite réelle vérifiant

un+1−un→0etun→+∞
Montrer qu’il existe une applicationϕ:N→Nstrictement croissante vérifiant

uϕ(n)−n→0

Exercice 11[ 03034 ][correction]
Soitf: [01[→Runiformément continue. Montrer quefest bornée.

Exercice 12[ 03035 ][correction]
Soitf:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l’infini.
Montrer quefest uniformément continue.

Exercice 13[ 03105 ][correction]
Soitαun réel compris au sens large entre 0 et1e.
a) Démontrer l’existence d’une fonctionf∈ C1(RR)vérifiant
∀x∈R f0(x) =αf(x+ 1)

b) Siα= 1e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la
relation précédente.

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Exercice 14[ 03350 ][correction]
Montrer la surjectivité de l’application

z∈C7→zexp(z)∈C

Exercice 15[ 00727 ][correction]
Soitf∈ C2(R+R)telle quexl→i+m∞f(x) =a∈R.
a) Sif00est bornée, que dire def0(x)quandx→+∞?
b) Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du a) ?

Enoncés

Exercice 16[ 01341 ][correction]
Soitf: ]01]→Rdérivable. On suppose def(x)→`etxf0(x)→`0quandx→0.
Que dire de`0?

Exercice 17[ 02945 ][correction]
Soientx1     xn y1     yndes réels positifs.
Montrer

(x1   xn)1n+ (y1   yn)1n6((x1+y1)× ∙ ∙ ∙ ×(xn+yn))1n

Exercice 18[ 03049 ][correction]
SoientIun intervalle ouvert deRetf∈ C0(IR).
a) On suppose que, pour tout(x y)∈I2,
fx+2y6f(x) +f(y)
2

Montrer quefest convexe.
b) On suppose qu’il existe un réelMtel que

∀(x y)∈R2|f(x+y) +f(x−y)−2f(x)|6M y2

Montrer quefest dérivable.
Indice : Considérerx7→f(x)±M x22.

Exercice 19[ 02966 ][correction]
Soientf: [01]→Rcontinue telle que
Z10f(t) dt= 0
mle minimum defetMson maximum.
Prouver
Z01f2(t) dt6−mM

Exercice 20[ 02967 ][correction]
Soientfetgdeux fonctions croissantes et continues sur[01]. Comparer
Z10f(t)g(t) dtetZ01f(t) dt×Z01g(t) dt

Exercice 21[ 03051 ][correction]
Soient(a b)∈R2aveca < betf∈ C0([a b]C).
A quelle condition portant surfa-t-on
b
Zaf=Zba|f|?

Exercice 22[ 03089 ][correction]
Soient(a b)∈R2,µ∈R+?etf∈ C2([a b]R)telles que
∀x∈[a b]|f0(x)|>µetf0monotone

Montrer :



Zbae2iπf(t)dt6µ1π

Exercice 23[ 03380 ][correction]
Soitf: [01]→Rcontinue vérifiant
Z1
f(t) dt= 0
0
Montrer qu’il existex∈]01[vérifiant
Z0xtf(t) dt= 0

2

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Exercice 24[ 03116 ][correction]
SoientEun espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E)nilpotent.
SoitSun sous-espace vectoriel deEstable paruet tel que

Montrer queS=E.

E=S+Imu

Enoncés

Exercice 25[ 02464 ][correction]
Soit(a b c)∈R3. Les fonctionsx7→sin(x+a) x7→sin(x+b)etx7→sin(x+c)
sont-elles linéairement indépendantes ?

Exercice 26[ 00271 ][correction]
SoitP∈C[X]non constant et tel queP(0) = 1. Montrer que :

∀ε >0∃z∈C|z|< εet|P(z)|<1

Exercice 27[ 00274 ][correction]
SoitP∈R[X]simplement scindé surR. Montrer queP
coefficients consécutifs nuls.

ne peut avoir deux

Exercice 28[ 01352 ][correction]
SoientKun corps eta1 a2     an∈Kdeux à deux distincts.
a) Calculer
nX
i=X1j6Y=iai−−aajj
n
b) On poseA(X) =Q(X−aj). Calculer
j=1

n1
iXA0(ai)
=1

Exercice 29[ 02131 ][correction]
Déterminer dansK[X]tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 30[ 02143 ][correction]
Soientt∈Retn∈N?.
Déterminer le reste de la division euclidienne dansR[X]de(Xcost+ sint)npar
X2+ 1.

Exercice 31[ 02375 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]vérifiant

P(X2) =P(X)P(X+ 1)

Exercice 32[ 02941 ][correction]
SoientA B∈C[X]non constants vérifiant

3

{z∈CA(z) = 0}={z∈CB(z) = 0}et{z∈CA(z) = 1}={z∈CB(z) = 1}

Montrer queA=B.

Exercice 33[ 03041 ][correction]
Trouver lesP∈C[X]tels que

P(1) = 1,P(2) = 2,P0(1) = 3,P0(2) = 4,P00(1) = 5etP00(2) = 6

Exercice 34[ 03046 ][correction]
SoitP∈R[X]. Montrer que la suite(P(n))n∈Nvérifie une relation de récurrence
linéaire à coefficients constants.

Exercice 35[ 03336 ][correction]
Résoudre dansC3le système
x2+y2+z2= 0
x4+y4+z4= 0
x5+y5+z= 0
5

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[ 01432 ][correction]

Exercice 38
Calculer

en notant par

a) Soitk∈N?. Majorer les coefficients deAk.
b) CalculerA−1.
c) CalculerAkpourk∈N.

∙ ∙ ∙

Cnn
Cn
n+1
.
C2nn

[n+1]

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

Exercice 39[ 03373 ][correction]
a) Donner les coordonnées des foyersF

x2y21
a2+b2=

C0C11
0
1
C10C2
Dn+1=
. .
C0nC1n+1

Ckkn!=k!(nn!−k)!
=
n

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etF0de l’ellipseEd’équation

Exercice 36[ 00403 ][correction]
Soit
M=dbca∈ M2(R)
avec06d6c6b6aetb+c6a+d.
Pour toutn>2, on note
Mn=anndbnn
c

Enoncés

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

Exercice 37
Soit

Démontrer que, pour toutn>2,

bn+cn6an+dn

∙ ∙ ∙

[ 02929 ][correction]
1

1

∙ ∙ ∙

0 1
.
.
..
0∙ ∙ ∙

.
.
.
..
0 1

∈ Mn(R)


A=


4

I=Z Z(M F+M F0) dxdy
D
oùDdésigne l’intérieur de l’ellipse

(avec0< b <