Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Géométrie

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 00591 ][correction]
a) Etudier la courbe

(xy=32=tt32

Enoncés

b) Donner une équation de la tangente et de la normale enM(t).
c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.

Exercice 2[ 00630 ][correction]
Donner la nature de la conique d’équation

16x2−24xy+ 9y2+ 25x−50y= 0

Préciser les sommet, foyer et directrice.

Exercice 3[ 01326 ][correction]
Soient >a b0etΦl’arc défini parx(t) =acos3tety(t) =bsin3tpourt∈R.
a) TracerΦ.
b) Quelle est la longueur de l’arc ?
c) Donner le rayon de courbure deΦet lieu des centres de courbures.

Exercice 4[ 01562 ][correction]
SoientA(10)etB(02)dans un repère orthonormé(Oxy).
Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant parAetB, et
tangente respectivement à(Ox)et(Oy)en ces points.

Exercice 5[ 02918 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R). Six∈R+, on notePxle point intersection de la tangente au
graphe defau point d’abscissexavecOx.
a) Montrer, si−O−P→xa une limite quandx→+∞que le graphe defa une
asymptote.
b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.

Exercice 6[ 02920 ][correction]
Calculer la longueur de la courbe d’équation polaire (a >0)

r=a(1 + cosθ)

Exercice 7[ 02921 ][correction]
SoitCla courbe d’équation polaire
r=pcos(2θ)

a) TracerC.
b) Calculer la courbure aux points où elle est définie.
c) Calculer l’aire délimitée par la courbeC.

Exercice 8[ 02930 ][correction]
Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par

x2+ 3xy+ 2y2−x−2y+ 1 = 0

Exercice 9[ 02932 ][correction]
Soient des réelsa b a0 b0Montrer que les courbes d’équation respectives.

2
(ax+by)2+ (a0x+b0y) = 1et(ax+a0y)2+ (bx+b0y)2= 1
sont isométriques.

Exercice 10[ 02933 ][correction]
Reconnaître et tracer la courbe d’équation

13x2−32xy+ 37y25
=

Exercice 11[ 03064 ][correction]
[Astroïde]
a) Etudier et représenter la courbe définie par
(x= cos3t
y= sin3t

b) Trouver le lieu des pointsHtels queHest le projeté orthogonal deOsur la
normale à la courbe en un point donné

Exercice 12[ 02935 ][correction]
Reconnaître la surface d’équation

2
z=x2−y

1

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Exercice 13[ 02936 ][correction]
Soitaun réel. Déterminer la surface balayée par les droites parallèles au plan
y+z= 0qui coupent les droites

{x+y=a;z= 0}et{z=a;x= 0}

Exercice 14[ 02937 ][correction]
Reconnaître et réduire la quadrique d’équation :

2x2+ 2y2+z2+ 2xz−2yz+ 4x−2y−z+ 3 = 0

Exercice 15[ 02938 ][correction]
Reconnaître, siα∈R, la quadrique d’équation :

x2+ 3y2−3z2−4xy+ 2xz−8yz+αx+ 2y−z= 1

Exercice 16[ 03202 ][correction]
Montrer que la surface d’équation

13x2+ 10y2+ 5z2−4xy−6xz−12yz−14 = 0

est un cylindre dont on précisera l’axe et le rayon.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR.
M(−t)etM(t)sont symétriques par rapport à(Ox).
Etude limitée à[0+∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d’axe
(Ox)

(xy00((tt6=)6=)tt2

(xy00((tt)0=)=0⇔⇔tt0==0

t
x0(t)
x(t)
y(t)
y0(t)
m(t)

0
0
0
0
0
?

+
%
%
+
+

+∞

+∞
+∞

Etude ent= 0
(yx((tt=)3)0=tt222+0+tt33
3 0
~
p= 2,q= 3,u~,v2
0
M(0)est point de rebroussement de première espèce avec tangente horizontale.
Etude quandt→+∞
xy((tt))→+∞etx(t)→+∞
Il y a une branche parabolique verticale.
plot([3*tˆ2, 2*tˆ3, t=-5..5], view=[-1..4 -4 .4]);
, .

La courbex= 3t2 y= 2t3

3

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b) Pourt6= 0, la tangenteDtenM(t)a pour équation

soit

−t2(x−3t2) +t(y−2t3) = 0

tx−y=t3

Pourt6= 0, la normaleNtenM(t)a pour équation

soit

t(x−3t2)−t2(y−2t3) = 0

tx−t2y= 3t3−2t5

Ces équations sont encore valables pourt= 0.
c) La tangenteDtnormale à la courbe au pointest M(τ)si, et seulement si,
(3tτ2−2τ3=t3
tτ+t2τ2= 0

ce qui traduitM(τ)∈ Dtet l’orthogonalité des tangentes enM(t)etM(τ).
Sit= 0alorsτ= 0mais le couple(00)n’est pas solution.
Sit6= 0alorsτ6= 0etτ=−1tpuis3t+t23=t3d’où(t2+ 1)2(t2−2) = 0
ce qui donnet=√2√−2.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
La matrice−2161−912a pour valeurs propres0et25.
Posons~u=53~i+54j~etv~=−54i~+35~jvecteurs propres unitaires associées à ces
valeurs propres.
Dans le repère orthonorméR= (O;~u~v)l’équation deΓest

soit encore

25y2−50y−25x= 0

(y−1)2=x+ 1

−1
Γest la parabole de sommetSd’axe f~ramètrep= 12.
1, ocal(S;u)et de pa
e parv.
Le foyer estF=S+12~uet la directrice passe parK=S−21~uet est dirigé~

Exercice 3 :[énoncé]
a) L’applicationt7→M(t)est définie et de classeC∞surR
.
M(t+ 2π)etM(t)sont confondus.
M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Ox)
M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l’axe(Oy)
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries d’axe(Oy)puis(Ox).
Tableau des variations simultanées
(x0(t) =−3asintcos2t
y0(t) = 3bcostsin2t

t0π2
x0(t) 0−0
x(t)a&0
y(t) 0%b
y0(t) 0 + 0
m(t) ?− −1

Etude ent= 0
Quandt→0
3
yx((tt)=0=)at−2+attb230++o(tt33)+o(t3)
2

−1 0
p= 2,q= 3,~uetv.
~
01
La tangente est horizontale et il y a point de rebroussement de première espèce.
Etude ent=π2.
On obtient une tangente verticale et un point de rebroussement de première
espèce.
L’allure deΦest celle d’une astroïde transformée par affinité.
b) On a
ddts= 3|costsint|pa2cos2t+b2sin2t

donc

Zπ2
L cos= 12tsintpa2cos2t+b2sin2tdt
0

Sia=balorsL= 6a.
Sia6=balors pour fixer les idées, supposonsa > b.

4

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Puisque√a2cos2t+b2sint2=p(a2−b2) cos2t+b2et puisque
(cost)20=−2 sintcost, on a

L=a2−4b2h(a2−b2) cos2t+b232i0π2= 4aa32−−bb23

et cette relation est encore valable sia < b.
c) Calculons la courbure en un point régulier de paramètret∈]0 π2[. La
courbure en les autres points se déduira par symétrie.
~ ~
Les vecteursTetNde la base de Frént sont

asint bcost
−
T~pacbcso2ostt+b2sin2tetNpa2cosa2stni+bt2sin2t
2~
pa2cos2t+b2sin2tpa2cos2t+b2sin2t

~
La relationdT=γN~permet de calculerγ. On obtient
ds

−ab
γ=a2cos2t+b2sin2t

Les centres de courbures sont donnés par

~
I(t) =M(t) +γ(1t)N(t)

Exercice 4 :[énoncé]
SoitPune parabole solution. Une équation cartésienne dePest de la forme

ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey=k

Corrections

avecac−b2= 0carPest une conique dégénérée.
Puisque les tangentes(Ox)et(Oy)sont sécantes enO, la parabolePne passe pas
Oet donck6= 0. En divisant les coefficients inconnusa b&#