Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Analyse

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 02781 ][correction]
Etudier la convergence de la suitebanc1n, oùa >0.

Exercice 2[ 02782 ][correction]
Soient des réels positifsaetb. Trouver la limite de
a1n+2b1nn

Exercice 3[ 02783 ][correction]
Soit(xn)n∈N?une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0,
yn=rx1+qx2+∙ ∙ ∙+√xn

a) Icixn=apour toutn, oùa >0. Etudier la convergence de(yn).
b) Mme question dans le cas oùxn=ab2npour toutn, avecb >0.
c) Montrer que(yn)converge si, et seulement si, la suite(xn2−n)est bornée.

Enoncés

Exercice 4[ 02788 ][correction]
n
Donner un développement asymptotique de1k=0k!n∈Nà la précisiono(n−3).
n!P

Exercice 5[ 02811 ][correction]
Soient des réelsa boùa∈{01}. On poseh(x) =ax+bpour toutxréel. On
noteSl’ensemble des fonctions dérivablesf:R→Rtelles que

f◦f=h

a) Montrer queS=∅sia <0.
Désormais on supposea >0(eta6= 1).
b) Montrer quehest une homothétie préciser son centre et son rapport. ;
c) Soitf∈S. Montrer queh−1◦f◦h=f. En déduire une expression def; on
commencera par le cas0< a <1.

Exercice 6[ 02812 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rtelle que

xli→m0f(x) = 0etlimf(x)−f(x2)1
=
x→0√x
Trouver un équivalent simple en 0 def.

Exercice 7[ 02813 ][correction]
Soientfetgdes fonctions continues de[01]dans[01]telles quef◦g=g◦f.
a) Montrer que l’ensemble des points fixes defpossède un plus grand et un plus
petit élément.
b) Montrer l’existence dec∈[01]tel quef(c) =g(c).

Exercice 8[ 02815 ][correction]
SoientfunC1difféomorphisme croissant de[01]sur[01]etn∈N?. Montrer
que l’on peut trouver une suite(xkn)16k6ntelle que :
∀k∈ {1     n},k−n16f(xkn)6nketk=Xn1f0(x1kn) =n

Exercice 9[ 02816 ][correction]
Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral.

Exercice 10[ 02817 ][correction]
Montrer, pour toutx∈]0 π2[, l’existence deθx∈]01[tel que
x3
sinx=x−6 cos(xθx)
Etudier la limite deθxquandxtend vers 0 par valeur supérieure.

Exercice 11[ 02818 ][correction]
Soitf: ]−1+∞[→Rdonnée par

fl)(1+1+n(x)
x=
x
a) Trouver le plus grand intervalle ouvertIcontenant 0 sur lequelfest un
C∞-difféomorphisme.
b) On notegl’application réciproque defI. Montrer que les coefficients du
développement limité degen 0 à un ordre quelconque sont positifs.

1

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Exercice 12[ 02819 ][correction]
On posef(x) = e−1x2pourxréel non nul etf(0) = 0.
a) Montrer l’existence pour toutn∈Nd’un polynômePntel que :
∀x∈R?,f(n)(x) =x−3nPn(x)f(x)

Quel est le degré dePn?
b) Montrer quefest de classeC∞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.
c) Montrer que toute racine dePnest réelle.

Exercice 13[ 02820 ][correction]
Soientf:I→Rune fonction deux fois dérivable surIeta b ctrois points
distincts deI.
Montrer
∃d∈I(a−bf(()aa)−c(+)b−cf)((bb)−a+f(cc)−b1=2)f00(d)
) (c−a)(

Exercice 14[ 02822 ][correction]
Soitf:R+→Rdérivable.
a) Sif0est bornée surR+, montrer quefest uniformément continue surR+.
b) Si|f0(x)| →+∞quandx→+∞, montrer quefn’est pas uniformément
continue surR+.

Exercice 15[ 00183 ][correction]
Etudier l’intégrabilité en 0 de
→Zxettdt
f:x7
1

Exercice 16[ 00696 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue.
On suppose que pours0∈R, l’intégraleR+0∞f(t)e−s0tdtconverge.
Montrer que l’intégraleR0+∞f(t)e−stdtconverge pour touts > s0.

Exercice 17[ 02421 ][correction]
Convergence de

Z−+∞∞eit2dt

Enoncés

Exercice 18[ 02824 ][correction]
Existence et calcul de
Z

π2
√tanθdθ
0

Exercice 19[ 02825 ][correction]
Existence et calcul éventuel de
Z−+∞∞1 + (t+1ib)2dt

Exercice 20[ 02826 ][correction]
Calculer
Z+0∞t2nl+ta2dt
oùa >0.

Exercice 21[ 02827 ][correction]
Trouver une expression simple de
Z0π(1−2xcost+xsi2)(n21t−2ycost+y2) dt
oùx y∈]−11[.

Exercice 22[ 02829 ][correction]
Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.

Exercice 23[ 02879 ][correction]
a) Donner la nature de l’intégrale
Z+0∞sitntdt
On pose pour tout réelx
f(x) =Zx+∞sitntdt
b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée.
c) Calculer
Z+∞f(t) dt
0

2

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Exercice 24[ 03753 ][correction]
[Inégalité de Hardy]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pourx >0, on pose
g(x 1) =xZxf(t) dt
0

a) Montrer queg2est intégrable sur]0+∞[et que
Z0+∞g2(t) dt64Z0+∞f2(t) dt

b) Montrer quef gest intégrable et
Z+0∞g2(t) dt=Z+0∞f(t)g(t) dt
2

Exercice 25[ 02784 ][correction]
Soitu0∈]02π[puis
∀n∈N un+1= sin (un2)

a) Montrer que(un)tend vers 0.
b) Montrer quelim(2nun) =Apour un certainA >0.
c) Trouver un équivalent simple de(un−A2−n).

Exercice 26[ 02789 ][correction]
Nature de la série de terme général
e−1 +nn
1
n32−n32+n

Exercice 27[ 02790 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùa >0.

un= ln1 + (−n1a)n

Enoncés

Exercice 28[ 02791 ][correction]
Nature de la série de terme général
√n√+n(+−a1)n
un= ln

oùa >0.

Exercice 29[ 02792 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùαest réel.

nα
n
Pln2k
k=2

Exercice 30[ 02793 ][correction]
Convergence de la série de terme généralun= sinπ√n2+ 1.

Exercice 31[ 02794 ][correction]
Nature de la série de terme généralun= sinπ(2 +√3)n.

Exercice 32[ 02795 ][correction]
Soitα∈R?. On pose, pourn∈N?

1
=
unn
Pkα
k=1

Nature de la série de terme généralun?

Exercice 33[ 02796 ][correction]
Soit(un)suite réelle décroissante et positive. On poseune

n
vn= 2u2n
Déterminer la nature dePvnen fonction de celle dePun.

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Enoncés

Exercice 34[ 02797 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante d’éléments deR+, de limite 0. Pourn>1, on pose

vn=n2un2

Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes générauxunetvn?

Exercice 35[ 02798 ][correction]
Soientα∈Retf∈ C0([01]R)telle quef(0)6= 0. Etudier la convergence de la
série de terme général
1n
un=n1αZf(tn) dt
0

Exercice 36[ 02799 ][correction]
Soientα >0et(un)une suite de réels strictement positifs vérifiant
u1n= 1−1+on1α
nnα

La série de terme généralunconverge-t-elle ?

Exercice 37[ 02800 ][correction]
a) Soient(un)n>0et(vn)n>0deux suites réelles,λ∈R. On suppose :
∀n∈N un>0;X|vn|converge etuunn+1= 1−λn+vn

Montrer que(nλun)converge.
b) Nature de la série de terme général

nn?
n!en

Exercice 38[ 02801 ][correction]
SoientαdansR?,aetbdansRN. On pose

−a
u0=αet∀n∈N,un+1=nn−b un

Etudier la nature de la série de terme généralunet calculer éventuellement sa
somme.

Exercice 3