Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 1[ 02647 ][correction]
a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers(an)n∈Net(bn)n∈Nvérifiant
(√2 + 1)n=an+bn√2

b) Calculera2n−2b2n.
c) Montrer que pour toutn∈N, il existe un uniquep∈N?tel que
(√2 + 1)n=√p+pp−1

Exercice 2[ 02646 ][correction]
Si(x y z)∈R3vérifieeix+ eiy+ eiz= 0, montrer quee2ix+ e2iy+ e2iz= 0.

Exercice 3[ 02928 ][correction]
SoientHune hyperbole,DetD0ses asymptotes sécantes enOetMun point sur
H.
On noteA(resp.A0) l’intersection de la tangente enMàHsurD(resp.D0).
Montrer que l’aire du triangleOAA0est indépendante deM.

Exercice 4[ 02931 ][correction]
SoAi−tA→0rd=an3sr,RC+?erps(.Dans.C0nlepadleceenrcculielliedncee)Pe,rotsAntieser(A.peAt0)A0eudoixpstnnyoradertp.qessl(reu2er).

et
Décrire
{M∈P; d(MC) = d(MC0)}

Exercice 5[ 02934 ][correction]
SoientDune droite etPun point du plan. Quel est l’ensemble des pointsMdu
plan tels queM P=d(M D)?

Exercice 6[ 02653 ][correction]
Soitpun nombre premier,p>5. Montrer quep2−1est divisible par24.

Exercice 7[ 00501 ][correction]
Soitfune fonction croissante de[01]dans[01].
a) Montrer que s’il existex∈[01]etk∈N?tels quefk(x) =xalorsxest un
point fixe pourf.
b) Montrer quefadmet un point fixe.

Exercice 8[ 02821 ][correction]
Soitf:R+→Runiformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifsa
etbtels que|f(x)|6ax+bpour toutx>0.

Exercice 9[ 02645 ][correction]
4
CalculerPcos2k9π.
k=1

Exercice 10[ 02814 ][correction]
Soientx1     x13des réels. Montrer qu’il existeietjdans{1    13}tels que
i6=jet061x+ix−ixxjj62−√3. Indice : Utiliser la fonction tan.

Exercice 11[ 01972 ][correction]
Soit(a b)∈R2tel quea < b,f: [a b]→Rcontinue etn∈Ntelle que :

∀k∈ {01  n}Zbatkf(t) dt= 0

Montrer quefs’annule au moinsn+ 1fois sur[a b].

Exercice 12[ 02785 ][correction]
Etudier les limites dek=Qn11 +nk1net denk=Q11 +nk21n.

Exercice 13[ 02786 ][correction]
Calculer les limites de
kXn=1sinknsinkn2etnkX=1sin2√k1+n

lorsquen→+∞.

Exercice 14[ 02787 ][correction]
nsin(kx)
Sin∈N?etx∈R, soitfn(x) =Pk.
k=1
Soitxnle plus petit réel strictement positif en lequelfnatteint un maximum
local. Calculerlimfn(xn).

1

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Exercice 15[ 02823 ][correction]
Soientf:R→Rconvexe,a bréels aveca < b,g: [a b]→Rcontinue. Montrer
que
fb−1aZbag(t) dt!61Zbaf(g(t)) dt
b−a

Exercice 16[ 03198 ][correction]
Déterminer un équivalent quandn→+∞de

n1
un=k=X1(n+ 2k)3

Exercice 17[ 02890 ][correction]
Trouver les fonctionsf:R→Rcontinues telles que pour toutxréel
f(x)−2Z0xf(t) c
os(x−t) dt= 1

Enoncés

Exercice 18[ 02663 ][correction]
Montrer quea= cosπ9est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans
Q. Montrer queaest irrationnel.

Exercice 19[ 02664 ][correction]
a) Soitn∈N?. Montrer que

n−1k)
X2n−1 = (X2−1)Y(X2−2Xcosπn+ 1
k=1

b) Soit un réela6=±1; déduire de a) la valeur de
Z0πln(a2−2acost+ 1) dt

Exercice 20[ 02665 ][correction]
Montrer, pour toutn∈N, qu’il existe un uniquePn∈Rn+1[X]tel quePn(0) = 0
etPn(X+ 1)−Pn(X) =Xn
.

Exercice 21[ 02668 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X]tels que(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).

2

Exercice 22[ 02669 ][correction]
a) SiP∈R[X]est scindé surR, montrer queP0est scindé surR.
b) Si(a b c)∈R3, montrer queX10+aX9+bX8+cX7+X+ 1n’est pas scindé
surR.

Exercice 23[ 02670 ][correction]
Soitn∈N. Montrer qu’il existe un unique polynômeP∈C[X]tel que
P(cosθ) = cosnθpour toutθréel. On le noteTn.
a) LierTn−1 TnetTn+1.
b) Donner une équation différentielle vérifiée parTn.
c) CalculerT(nk)(1)etTn(k)(−1).

Exercice 24[ 02671 ][correction]
Quels sont les couples(P Q)∈R[X]2vérifiantP2+ (1−X2)Q2= 1?

Exercice 25[ 02672 ][correction]
Déterminer lesPdeR[X] {0}tels queP(X2) =P(X)P(X−1).

Exercice 26[ 02673 ][correction]
On cherche les polynômesPnon nuls tels que

P(X2) =P(X−1)P(X)

a) Montrer que toute racine d’un telPest de module 1.
b) Déterminer les polynômesP.

Exercice 27[ 02674 ][correction]
Trouver lesP∈R[X]tels queP(X2) = (X2+ 1)P(X).

Exercice 28[ 02676 ][correction]
Décomposer en éléments simples dansC(X)
Xn−1
Xn−1

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Exercice 29[ 01595 ][correction]
Soitpune projection d’un espace vectoriel euclidienE.
Montrer que la projectionpest orthogonale si, et seulement si,

∀x∈Ekp(x)k6kxk

Enoncés

Exercice 30[ 02922 ][correction]
Dans un espace euclidien orientéEde dimension 3, on pose, poura∈Eetx∈E,
fa(x) =a∧xpuisra= exp(fa). Montrer queraest une rotation et en donner les
éléments caractéristiques.

Exercice 31[ 02923 ][correction]
SoitEun espace euclidien de dimension 3,rdans SO(E)etsune symétrie
orthogonale.
Caractérisers◦r◦s.

Exercice 32[ 02924 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien,u∈Enon nul,g∈ O(E). On noteσla
symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplanu⊥. Décrireg◦σ◦g−1
.

Exercice 33[ 02925 ][correction]
Soientfetgdans SO3(R)tels quef6=getg◦f=f◦g.
Montrer quefetgsont soit deux rotations de mme axe, soit deux symétries de
droites orthogonales.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) L’existence s’obtient par la formule du binôme de Newton :
an=062Xk6n2nk!2ketbn=062kX+16n2kn+ 1!2k
L’unicité provient de l’irrationalité de√2.
b) Par la formule du binôme de Newton,
(1√−2)n=an√−2bn

Corrections

puisq
an2−2b2n= (1 +√2)n(1−√2)n= (−1)n
c) L’unicité est évidente compte tenu de la stricte croissance dep7→ √p+√p−1.
Sinest pair alorsan2= 1 + 2b2n. Pourp=a2n,
(√2 + 1)n=an+√2bn=√p+pp−1

Sinest impair alors2bn2=a2+ 1. Pourp= 2bn2,
n
(√2 + 1)n=√2bn+an=√p+pp−1

Exercice 2 :[énoncé]
Puisqueeix+ eiy+ eiz= 0, on a1 + eiα+ eiβ= 0avecα=y−xetβ
Ainsi
cosα+ cosβ=−1
(sinα+ sinβ= 0

=z−x.

sinα+ sinβ= 0donneα=−β[2π]ouα=π+β[2π].
Siα=π+β[2π]alors la relationcosα+ cosβ=−1donne0 =−1.
Il resteα=−β[2π]et alors2 cosα=−1donneα=±32π[2π].
Par suiteeiα=jouj2.
On obtient alors aisément1 + e2iα+ e2iβ= 0puise2ix+ e2iy+ e2iz= 0.

Exercice 3 :[énoncé]
Plaçons nous dans un repère dans lequel l’équation réduite deHestxa22−yb22= 1.
Notons(x0 y0)les coordonnées deM. L’équation de la tangente àHenMest
xax20−yyb20= 1, les équations des asymptotesDetD0sonty=bxety=−bax.
a

Ceci permet de former deux systèmes dont les coordonnées(x y)deAet celles
(x0 y0)deA0sont respectivement solutions.
L’aire deOAA0est alors
12Det(−O→A O−−A→0)=12|xy0−x0y|=ba|xx0|
avec après calculsxx0=a2.
Finalement l’aire du triangleOAA0est constante égale àab.

Exercice 4 :[énoncé]
On a
d(MC) =|AM−r|etd(MC0) =|A0M−2r|
SiMest un point extérieurs au cerclesCetC0alors

Par suite

d(MC) =AM−retd(MC0)