Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Avec Maple

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 00087 ][correction]
On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel.
a) Résoudre sur l’intervalleI= ]1+∞[l’équation différentielle

(E):xy0+yl1n=x
et expliciter (sous forme intégrale) la solution de(E)surI, notéef, telle que
f(2) = 0.
Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel ?
b) Etudier les variations def. Vérifier quefadmet un maximum en un unique
point d’abscissex0∈I.
Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée dex0.
c) Déterminer un développement asymptotique à deux termes def(x)quand
x→+∞. On commencera par établir l’équivalent

f(x)∼+∞1lnx
x→
d) Déterminer un équivalent deflorsquex→1+.
e) Tracer le graphe defavec le logiciel de calcul formel.

Exercice 2[ 02469 ][correction]
Soit(xk)une suite de[01]équirépartie :

∀[a b]⊂[01],nl→i+m∞n1Card{k∈[1 n]|xk∈[a b]}=b−a

a) Montrer que

n1
∀f∈ C([01]),nl→i+m∞1nXf(xk) =Z0f(x)dx
k=1

b) Pourf(t) = e−t2, créer, à l’aide de Maple, un programme calculant

1nnXf(xk)
k=1

Créer un programme qui réalise la méthode des rectangles. Comparer ces deux
programmes avec la valeur donnée par Maple.
c) Adapter la méthode aléatoire au calcul de
Z Z[01]2y)ex2+y2dxdy
cos(x

Enoncés

Exercice 3[ 02477 ][correction]
Soit(xn)n>1la suite définie par

x1>0et∀n∈N?,xn+1=xn+nxn

1

a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs
dex1. Commenter.
b) Minorerxn. Si(yn)n>1vérifie la mme relation de récurrence, étudierxn−yn.
En déduire le comportement asymptotique de(xn).

Exercice 4[ 02478 ][correction]
a) SubdiviserR+en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenant
une unique racine de l’équation(E) : tanxthx= 1.
b) On range toutes les racines positives de(E)dans une suite strictement
croissante(xn)n>0.
Evaluer numériquement les quatre premiers termes.
c) Donner un développement asymptotique dexn.

Exercice 5[ 01479 ][correction]
SoitGle sous-groupe de GL2(R)engendré par les deux matricesSetTsuivantes :
S=−1100,T=√12−1111

Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2(R)contenantSetT.
a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matricesS T. Expliciter les éléments
du groupehRiengendré par la matriceR=STet préciser le cardinal de ce
sous-groupe deG.
Quelles sont les matricesSRetR7S?
b) Montrer que tout élément deGest soit une puissanceRkdeR, soit un produit
RkS. Préciser le cardinalndeG.
Dresser la liste de tous les éléments deGet déterminer la nature géométrique des
endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidienR2.
c) La transformationφS:g7→Sgdéfinit une permutation de l’ensembleG.
A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments deGet de
leurs images parφS.
Quelle est la signature de la permutation deG(qu’on peut identifier à l’ensemble
{12     n}) ainsi définie ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 6[ 02472 ][correction]
Montrer que
2 4
18123+4r53!13+−181r35!13
3

est un rationnel. On conseille d’effectuer les calculs par ordinateur.

Exercice 7[ 02475 ][correction]
n
Sinest un entier>2, le rationnelHn=Pk1
k=1

peut-il tre entier ?

Exercice 8[ 00528 ][correction]
On définit pourn∈N?les nombres complexes
un=k=nY11 +ik2etvn=kYn=11 + 2ki

Enoncés

a) On note, dans le plan complexe,AnetBnles points d’affixes respectivesunet
vn.
Utiliser le logiciel de calcul formel pour visualiser les lignes polygonales
A1 A2     AnetB1 B2     Bpour diverses valeurs den: par exemple
50,100,500. . . Un point du plan d’affixez=x+iysera repéré par la liste[x y]de
ses deux coordonnées.
b) Etudier la convergence de la suite(un).
S’il y a convergence, donner à l’aide du logiciel de calcul formel, une valeur
approchée (par module et argument) delimun.
n→+∞
c) Etudier la convergence de la suite(vn).
On pourra justifier l’existence d’une constanteLtelle que :

Xnarctan 2k= 2 lnn+L+o(1)
k=1

et étudier la nature (convergente ou divergente) de la suite complexe(zn)n>1:

zn= exp(2ilnn)

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

2

Exercice 9[ 03060 ][correction]
Soientn petqtrois naturels non nuls et deux applications linéairesu∈ L(RpRq)
etv∈ L(RpRn).
a) Démontrer qu’il existe une application linéairew∈ L(RnRq)telle que
u=w◦vsi, et seulement si, on a l’inclusion des noyaux

ker(v)⊂ker(u)

Dans ce cas, déterminer toutes les applicationswqui conviennent.
b) Pour résoudre cette question, on utilisera un logiciel de calcul formel.
SoientAetBles matrices deM3(R)suivantes :
A=−348112−−351etB=−521−120−−113

Existe-t-il une matriceC∈ M3(R)telle queA=CB?
Déterminer toutes les matricesCsolutions.
c) Pour la matriceBdonnée dans la question précédente, caractériser par leurs
colonnes les matricesA∈ M3(R)pour lesquelles il existeC∈ M3(R)telle que
A=CB.
Déterminer dans ce cas l’ensemble des solutionsC.
d) Soient trois applications linéairesu∈ L(RpRq)etv1 v2∈ L(RpRn).
Démontrer qu’il existe deux applications linéairesw1 w2∈ L(RnRq)telles que
u=w1◦v1+w2◦v2si, et seulement si,

kerv1∩kerv2⊂keru

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Exercice 10[ 02112 ][correction]
On pose, pourx∈R+et pourn∈N?:
Pn(x) =k=Yn11+1+2k2xx−k1!

1.a) Démontrer que pour toutx∈R+, la suite(Pn(x))n∈N?est convergente, de
limite strictement positive. On noteP(x)cette limite.
1.b) Tracer sur[020], le graphe de quelques fonctionsPn.
2.a) Démontrer quePest une fonction de classeC1surR+.
2.b) Etudier le sens de variation dePsurR+ainsi que l’existence de limite deP
en+∞.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

3.a) CalculerP(2j)pour tout entier naturelj. Confirmer le résultat avec le
logiciel de calcul formel (on rappelle que la fonctionΓest définie surR+?par
Γ(x) =R+0∞tx−1e−tdt)
3.b)Pest-elle intégrable surR+?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 11[ 02474 ][correction]
a) Montrer que pour toutn∈N?,
−
fn(t) =ten+t1et−p=Xn0ptp!!

Enoncés

est intégrable surR+?.
Soituncette intégrale.
b) A l’aide du logiciel de calcul fourni, calculerunpour16n610, puis effectuer
une conjecture sur l’expression deun.
c) Montrer que l’on peut écrireuncomme somme d’une série et utiliser ce résultat
pour démontrer la conjecture précédente.

Exercice 12[ 02479 ][correction]
Soit pourt∈R,
f(t) =+X∞t41+n4
n=1
a) Donner le domaine de définition def.
b) La fonctionf ?est-elle continue de classeC1?
c) Calculer, avec un logiciel de calcul formel
Z+0∞d+1tt4
d) Donner un équivalent defen+∞.
e) Montrer
+X∞Z

(−1)n1dt
=
n=04n+ 101 +t4

Exercice 13[ 02480 ][correction]
a) Déterminer le domaine de définition réel def:a7→+P∞e−a2n2
.
n=0
b) Déterminerlim0+af(a)etal→i+mf(a).
a→ ∞

Exercice 14[ 02485 ][correction]
Soit
−1)n
S=+X∞(
n=0(3n+ 1)(2n+ 1)
a) Montrer qu’il existe(a b)∈Q2que l’on déterminera tel que
S=aZ10d1+tt3+bπ

b) CalculerSà l’aide d’un logiciel de calcul forme