Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 02357 ][correction]
SoitEun ensemble de cardinaln,Rune relation d’équivalence surEayantk
classes d’équivalence etG=(x y)∈E2xRyle graphe deRsupposé de
cardinalp. Prouver qu’on an26kp.

Enoncés

Exercice 2[ 02358 ][correction]
Pourn∈N?, on désigne parNle nombre de diviseurs positifs denet parPleur
produit. Quelle relation existe-t-il entren,NetP?

Exercice 3[ 02359 ][correction]
SoitAla somme des chiffres de44444444,Bcelle deAet enfinCcelle deB. Que
vautC?

Exercice 4[ 02361 ][correction]
SoitP∈Z[X]eta bdeux entiers relatifs avecb >0et√birrationnel.
a) Exemple : montrer que√6est irrationnel.
b) Quelle est la forme de(a+√b)n?
c) Montrer que sia+√best racine dePalorsa√−baussi.
d) On suppose quea+√best racine double deP. Montrer queP=RQ2avecR
etQdansZ[X].

Exercice 5[ 02362 ][correction]
SoitEun ensemble fini de cardinaln. Calculer :
XCardX,XCard(X∩Y)etXCard(X∪Y)
X⊂E XY⊂E XY⊂E

Exercice 6[ 02363 ][correction]
Quel est le plus petit entierntel qu’il existe un groupe non commutatif de
cardinaln?

Exercice 7[ 02364 ][correction]
Soit un entiern>2. CombienZnZadmet-il de sous-groupes ?

Exercice 8[ 02365 ][correction]
Soitpun nombre premier on pose ;
Gp=nz∈C;∃k∈N zpk= 1o

a) Montrer queGpest un sous-groupe de(C?×).
b) Montrer que les sous-groupes propres deGpsont cycliques et qu’aucun d’eux
n’est maximal pour l’inclusion.
c) Montrer queGpn’est pas engendré par un système fini d’éléments.

Exercice 9[ 02366 ][correction]
Montrer que
nx+y√3x∈N y∈Z x2−3y2= 1o
est un sous-groupe de(R?+×).

Exercice 10[ 02367 ][correction]
SoitAun sous-anneau deQ.
a) Soitpun entier etqun entier strictement positif premier avecp. Montrer que
sipq∈Aalors1q∈A.
b) SoitIun idéal deAautre que{0}. Montrer qu’il existen∈N?tel que
I∩Z=nZet qu’alorsI=nA.
c) Soitpun nombre premier. On pose

Zp={ab;a∈Z b∈N? p∧b= 1}
Montrer que six∈Q?alorsxou1xappartient àZp.
d) On suppose ici quexou1xappartient àApour toutx∈Q?. On noteI
l’ensemble des éléments non inversibles deA.
Montrer queIinclut tous les idéaux stricts deA. En déduire queA=Qou
A=Zppour un certain nombre premierp.

Exercice 11[ 02368 ][correction]
Soitnun entier naturel non nul,(e1     en)la base canonique deE=Rn.
SoitSnl’ensemble des permutations de{12     n}. Soitti= (1 i).
Pours∈Sn, on définitus(ei) =es(i).
a) Montrer que(t2 t3     tn)engendreSn.
b) Interpréter géométriquementuslorsquesest une transposition.
c) Soits= (1 2 n  −1n). On suppose quesest la composée dep
transpositions. Montrer quep>n−1.
d) Quelle est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de
Sn?

1

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Exercice 12[ 02369 ][correction]
On suppose quenest un entier>2tel que2n−1est premier.
Montrer quenest nombre premier.

Exercice 13[ 02370 ][correction]
On notePl’ensemble des nombres premiers. Pour tout entiern >0, on note
vp(n)l’exposant depdans la décomposition denen facteurs premiers. On note
bxcla partie entière dex. On noteπ(x)le nombre de nombres premiers au plus
égaux àx.
a) Montrer quevp(n!) =k=P∞1jpnkk.
dilnp
b) Montrer que2n!visep∈P;Qp62npln(2n)
.
n
c) Montrer que2nn!6(2n).
π(2n)
d) Montrer quelnxx=O(π(x))quandx→+∞

Exercice 14[ 03199 ][correction]
SoientA(10)etB(01). Les pointsM0(x0 y0)etM1(x1 y1)sont donnés.
On construit le pointP0par les conditions :
- les droites(P0M0)et(Ox)sont parallèles ;
-P0∈(AB).
On construit le pointQ0par les conditions :
- les droites(P0Q0)et(M1B)sont parallèles ;
-Q0∈(AM1).
Soit le pointM2(x2 y2)tel que le quadrilatère(M0P0Q0M2)soit un
parallélogramme.
On pose
M2=M0? M1

a) Démontrer
x22!=x0y+0yx11y0!
y
b) Démontrer que la loi?associative, admet un élément neutre et que, siest
y06= 0, le pointM0admet un inverse.
c) On définit une suite de points(Mn)n∈Npar la donnée deM0, deM1et de la
relation de récurrence valable pour tout entiern>2

Mn=Mn−1? Mn−2

Enoncés

Déterminerynen fonction dey0et dey1.

2

Exercice 15[ 00164 ][correction]
Soientp qdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.
˜
a) Montrer quep+qest un projecteur si, et seulement si,p◦q=q◦p= 0.
b) Préciser alors Im(p+q)etker(p+q).
Exercice 16[ 00181 ][correction]
SoientKun sous-corps deC,EunK-espace vectoriel de dimension finie,F1etF2
deux sous-espaces vectoriels deE.
a) On supposedimF1= dimF2. Montrer qu’il existeGsous-espace vectoriel deE
tel queF1⊕G=F2⊕G=E.
b) On suppose quedimF16dimF2. Montrer qu’il existeG1etG2sous-espaces
vectoriels deEtels queF1⊕G1=F2⊕G2=EetG2⊂G1.

Exercice 17[ 02379 ][correction]
Soitf∈ L(R6)tel que rgf2= 3. Quels sont les rangs possibles pourf?

Exercice 18[ 00198 ][correction]
SoientB∈ Mn(R)et
A=BInBIn∈ M2n(R)
a) A quelle condition la matriceAest-elle inversible ?
b) Donner son inverse quand cela est possible.

Exercice 19[ 00730 ][correction]
SoitMune matrice carrée de taillenà coefficients dansKsous-corps deC.
Montrer que si trM= 0, il existe deux matricesAetBtelles que

M=AB−BA

Exercice 20[ 01322 ][correction]
SoitA∈ M3(R)non nulle vérifiantA2=O3.
Déterminer la dimension de l’espace

C={M∈ M3(R)AM−M A=O3}

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Exercice 21[ 02380 ][correction]
Quels sont lesf∈ L(Rn)telles quef(Zn) =Zn?

Exercice 22[ 02382 ][correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec
diag(12     n)et lui sont semblables ?

Exercice 23[ 02385 ][correction]
Calculer
1a1∙ ∙ ∙
1a2∙ ∙ ∙
Dk=
. .
1an∙ ∙ ∙

ak1−1
a2k−1
.
ank−1

ak+1
1
a2k+1
.
1
ank+

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

a1n
n
a2
.
ann

Exercice 24[ 02386 ][correction]
n
Soitλ1     λn∈Cdistincts etP(X) =Q(X−λi). Calculer :
i=1

P(X)P(X)
X−λ1X−λ2
1 1
Δ(X) =
. .
λ1n−2λ2n−2

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

Exercice 25[ 02387 ][correction]
a) SoientA B∈ Mn(R). Montrer que
det−BABA>0

P(X)
X−λn
1

.
λn−2
n

b) SoientA B∈ Mn(R)telles queAB=BA. Montrer quedet(A2+B2)
c) Trouver un contre-exemple à b) siAetBne commutent pas.
d) SoientA B C D∈ Mn(R)telles queAC=CA. Montrer que
detABCD= det(AD−CB)

>0.

Enoncés

Exercice 26[ 02388 ][correction]
SoitKun corps de caractéristique nulle etHune partie non vide et finie de
GLn(K)stable par multiplication.
a) SoitM∈H. Montrer quek∈N?7→Mk∈Hn’est pas injective.
En déduire queHest un sous-groupe de GLn(K).
Soient
q=|H|etP= 1qMX∈HM
b) Montrer, siM∈H, queM P=P M=P. En déduireP2=P.
c) Trouver un supplémentaire, dansMn1(K), stable par tous les éléments deH,
de
\ker(M−In)
M∈H
d) Montrer que
X

trM∈qN
M∈H
Que dire si cette somme est nulle ?

3

Exercice 27[ 02390 ][correction]
Soitnun entier>2etAun hyperplan deMn(C)stable pour le produit matriciel.
a) On suppose queIn∈A. Montrer, siM2∈ A, queM∈ A. En déduire que pour
touti∈ {19