Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Algèbre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 00074 ][correction]
Pourp∈Neta∈R\ {01}, on noteSpl’ensemble des suites(un)vérifiant

∃P∈Rp[X]∀n∈N un+1=aun+P(n)

Enoncés

a) Montrer que siu∈Sp,P on le notera ;est uniquePu.
b) Montrer queSpest unR-espace vectoriel.
c) Montrer queφ, qui àuassociePu, est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image ?
d) Donner une base deSp(on pourra utiliserRk(X) = (X+ 1)k−aXkpour
k∈[0 p]).
e) Application : déterminer la suite(un)définie par

u0=−2etun+1= 2un−2n+ 7

Exercice 2[ 02504 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finieE.
a) Montrer que|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v)6rg(u) +rg(v).
b) TrouveruetvdansL(R2)tel que rg(u+v)<rg(u) +rg(v).
c) Trouver deux endomorphismesuetvdeR2tel que rg(u+v) =rg(u) +rg(v).

Exercice 3[ 02533 ][correction]
Soientu v:Rn[X]→Rn[X]définies par

u(P) =P(X+ 1)etv(P) =P(X−1)

a) Calculer rg(u−v)en utilisant sa matrice.
b) Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Exercice 4[ 02495 ][correction]
SoitEun plan vectoriel.
a) Montrer quefnon nul est nilpotent si, et seulement si,endomorphisme
kerf=Imf.
b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la formef=u◦v
avecuetvnilpotents.

Exercice 5[ 02585 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien,fetgdeux endomorphismes
deE.

1

a) En appliquant le théorème du rang à la restrictionhdefà l’imageg, montrer
que
rgf+rgg−n6rg(f◦g)
b) Pourn= 3, trouver tous les endomorphismes deEtels quef2= 0.

Exercice 6[ 03359 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.
b) Montrer
E= kerf⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

Exercice 7[ 03701 ][correction]
On noteEl’espace vectorielR2[X]ete= (e1 e2 e3)la base duale de la base
canonique deE. On notevetwles éléments deE?définis par
v(P) =P(1)etw(P) =Z1P(t)dt
0
a) Montrer quee0= (e1 v w)est une base deE?.
b) Donner la matrice de passage deeàe0.
c) Donner la base antéduale dee0.

Exercice 8[ 00748 ][correction]
Pour(i j)∈[1 n]2, on considèreai∈Retbj∈Rtels queai+bj6= 0.
Calculer
deta+1bj16i[déterminant de Cauchy]
ij6n
Traiter en particulier le cas où

∀i∈[1 n] ai=bi=i[déterminant de Hilbert]

Exercice 9[ 02547 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien >1.
Montrer quef∈ L(E)de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer quef∈ L(E)de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base deL(E)constituée de projecteurs.

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Exercice 10[ 02563 ][correction]
PourAetBfixées dansMn(R), résoudre dansMn(R)l’équation

X=tr(X)A+B

Exercice 11[ 03702 ][correction]
Soit
1−1 0
A=010000−001

CalculerAnpour toutn∈Z.

Exercice 12[ 02584 ][correction]
Soit(a b)∈R2; calculer

a+b b
. .
.
a .. .
Dn=
. .
. .
. .
(0)a

Exercice 13[ 02596 ][correction]
Soitfun élément non nul deL(R3)vérifiant

f3+f= 0

00
1
−1

(0)

b
a+b[n]

Montrer queR3= kerf⊕Imfet que l’on peut trouver une base dans laquelle
pour matrice
A=000−010010

Exercice 14[ 03160 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finien>2.
a) Indiquer des endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE.

Enoncés

fa

2

b) Soit(e1     en)une base deE. Montrer que pour touti∈ {2     n}, la
famille(e1+ei e2     en)est une base deE.
c) Déterminer tous les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est
diagonale dans toutes les bases deE.
d) Quels sont les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE?

Exercice 15[ 03366 ][correction]
Montrer

1

n

2 1
Dn=..
..
n−1
n n−1

n−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
  

  

.
.
.
1
2

2

3
.= (−1)n+1(n1+)2nn−1
n
1

Exercice 16[ 03577 ][correction]
Pour une famille denréels distincts(xk)de[0 π], on pose
Pn=Y(cosxi−cosxj)
16i<j6n

a) Combien le produit définissantPncomporte-t-il de facteurs ?
b) Pour(i j)∈[14]2écrire la matriceM∈ M4(R)de coefficient général

mij((j−1)xi)
= cos
c) Montrer quemijest un polynôme encosxi.
d) CalculerdetMen fonction deP4et montrer|detM|<24

Exercice 17[ 03808 ][correction]
a) Montrer que siC∈ Mn(R)vérifie :
∀X∈ Mn(R)det(C+X) = detX
alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC).
b) Montrer que siAetBdeMn(R)vérifient :
∀X∈ Mn(R)det(A+X) = det(B+X)

alorsA=B.

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Exercice 18[ 00042 ][correction]
Soientu,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel.
a) Siλ6= 0est valeur propre deu◦v, montrer qu’il l’est aussi dev◦u.
b) SoitP∈E=R[X],
u(P) =P0etv( =Zx
P)P(t) dt
0
Trouverker(u◦v)etker(v◦u).
c) Montrer que la propriété précédente reste valable pourλ= 0siEest de
dimension finie.

Enoncés

Exercice 19[ 03433 ][correction]
Pour quelle(s) valeurs dex∈R ?, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable
A=−2−x−x−5+2−xx−xx
5 5 3

Exercice 20[ 02410 ][correction]
Soientn>2,A∈ Mn(R)etfl’endomorphisme deMn(R)défini par
f(M) =tr(A)M−tr(M)A

où tr désigne la forme linéaire trace.
Etudier la réduction de l’endomorphismefet préciser la dimension de ses
sous-espaces propres.

Exercice 21[ 02493 ][correction]
Soienta1     an∈C?, tous distincts etP(x) = det(A+xIn)avec
0a2∙ ∙ ∙an

A=a10.
a.1∙ ∙ ∙a.n.−.1a0n

a) CalculerP(ai)et décomposer en éléments simples la fraction
P(x)
n
Q(x−ai)
i=1
b) En déduiredetA.

Exercice 22[ 02497 ][correction]
Soitaun réel. PourM∈ Mn(R)(avecn>2), on pose
L(M) =aM+tr(M)In
a) Montrer queLest un endomorphisme deMn(R)et trouver ses éléments
propres et son polynôme minimal.
b) Pour quelsa, l’endomorphismeL ?est-il un automorphisme
Trouver son inverse dans ces cas.

Exercice 23[ 02501 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension quelconque,u∈ L(E)etP∈K[X]
ayant 0 comme racine simple et tel queP(u) = 0.
a) Montrer
keru2= keruet Imu2=Imu
b) En déduite
E= keru⊕Imu

Exercice 24[ 02502 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie,u∈ L(E),v∈ L(E)
diagonalisables vérifiantu3=v3. Montrer queu=v.

3

Exercice 25[ 02511 ][correction]
Soita∈Retn>2.
a) Montrer queφ(P)(X) = (X−a) (P0(X)−P0(a))−2(P(X)−P(a))définit un
endomorphisme deRn[X].
b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau deφ.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

Exercice 26[ 02513 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimension finie tel qu’il
existe deux réels non nuls distinctsaetbvérifiant

(u−aId)(u−bId) = 0

Soient
p=b−1a(u−aId)etq=a−1b(u−bId)
a) Calculerp+q,p◦p,q◦