Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Abordables en 1ère année

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 01311 ][correction]
SoitCun cercle de centreFet de rayon2a.
a) SoitF0un point à l’intérieur du cercleC.
Quel est le lieu des pointsMcentre des cercles passant parF0et tangent àC?
b) Mme question pourF0extérieur àC.

Exercice 2[ 02569 ][correction]
a) TracerPdéfinie parO+t~i+at2j~aveca >0et préciser son axe.
b) Déterminer tangente et normale àPau pointM0de paramètret0.
c) Factoriser
P(X) =X3−(t21+t2+t1t2)X+ (t1t22+t12t2)
2

Enoncés

en produit de polynômes de degré 1.
d) Montrer que les normales en trois points dePsont concourantes si, et
seulement si, le centre de gravité du triangle formé par ses points est sur l’axe de
P.

Exercice 3[ 03361 ][correction]
SoitCun cercle de centreFet de rayonr.
a)F0étant un point intérieur àC; trouver le lieu des centres des cercles passant
parF0et tangents àC.
b) Mme question pourF0extérieur àC.

Exercice 4[ 02459 ][correction]
Montrer que, au voisinage de+∞,

n3
un=Zn2d+1tt2∼n12

Exercice 5[ 01767 ][correction]
fétant continue sur[a b]et à valeurs dansR, trouver une condition nécessaire et
suffisante pour que
b
Zbaf(x) dx=Z|f(x)|dx
a

Exercice 6[ 02508 ][correction]
a) Etudier la fonction
fλ(x) =√1−2sλocnixsx+λ2

avec|λ| 6= 1.
b) Calculer

Zπ
fλ(x) dx
0

Exercice 7[ 03193 ][correction]
Pouraetbdes réels tels queab >0, on considère
b
I(a b) =Za(1+1x2−)√x12+x4dx

1

a) CalculerI(−b−a),I(1a1b)etI(1a a)en fonctionI(a b).
b) Poura b >1, calculerI(a b)via changement de variablesv=x+ 1xpuis
v= 1t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour touta btels queab >0.

Exercice 8[ 02519 ][correction]
Soientn∈N,n>2etfl’application deRdansRdéfinie par
f(x) =xnsin1xsix6= 0etf(0) = 0

a) Montrer quefest dérivable surR.
b)f ? si oui à quel ordre maximal ?admet-elle un développement limité en 0

Exercice 9[ 03197 ][correction]
Déterminerfdérivable surRtelle que

f0(x) =f(2−x)

Exercice 10[ 03360 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.

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b) Montrer

E= kerf⊕Img

c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

Exercice 11[ 02175 ][correction]
Soienta∈]0 π[etn∈N?. Factoriser dansC[X]puis dansR[X]le polynôme

X2n−2 cos(na)Xn+ 1

Exercice 12[ 02553 ][correction]
Soit(Pn)n∈N?la suite de polynômes définie par

P1=X−2et∀n∈N? Pn+1=Pn2−2

Calculer le coefficient deX2dansPn.

Exercice 13[ 02580 ][correction]
On cherche les polynômes

P(X) = (X−a)(X−b)∈C[X]

Enoncés

tels queP(X)diviseP(X3).
Montrer que, sia=b,P∈R[X]et que sia6=beta36=b3, il existe 6 polynômes
dont 4 dansR[X].
Trouver les polynômesPsia6=beta3=b3et en déduire que 13 polynômes en
tout conviennent, dont 7 dansR[X].

Exercice 14[ 03581 ][correction]
SoitP∈R[X]scindé de degré>2; on veut montrer que le polynômeP0est lui
aussi scindé.
a) Enoncer le théorème de Rolle.
b) Six0est racine dePde multiplicitém>1, quelle en est la multiplicité dans
P0?
c) Prouver le résultat énoncé.

Exercice 15[ 02560 ][correction]
Discuter suivantaetbet résoudre
ax+ 2by+ 2z= 1
22xx2++bybya++a2zz1==b

Exercice 16[ 02575 ][correction]
Montrer que la matrice
10
1
1

A=

est inversible et calculer son inverse.

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1
1
0





Exercice 17[ 02579 ][correction]
Résoudre, en discutant selona b∈Rle système
ax+y+z+t= 1
x+ay+z+t=bb2
x+y+az+t=
x+y+z+at=b3

Exercice 18[ 03212 ][correction]
Soientb= (i j)etB= (I J)deux bases d’unR-espace vectoriel de dimension 2
etPla matrice de passage debàB.
Pourx∈E, notons
v=MatbxetV=MatBx
a) Retrouver la relation entrevetV.
b) Soientf∈ L(E)et
m=MatbfetM=MatBf
Retrouver la relation entremetM.
c) Par quelle méthode peut-on calculermnlorsqu’on connaît deux vecteurs
propres non colinéaires def.

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Exercice 19[ 01425 ][correction]
Soienta6=betλ1 λ2  λn. On pose

λ1+x a+x

Δn(x) =b+x λ2+x
.
.
..
b+x∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
b+x

a) Montrer queΔn(x)est une fonction affine dex.
b) CalculerΔn(x)et en déduireΔn(0).

Exercice 20[ 03377 ][correction]
a) Calculer

b) En déduire



a b
a2b2
a3b3

c
c2
c3

a+b b+c
a2+b2b2+c2
a3+b3b3+c3

a+x

.

a+x
λn+x

c+a
c2+a2
c3+a3

[n]

Exercice 21[ 03576 ][correction]
a) Donner le rang deB=t(comA)en fonction de celui deA∈ Mn(K)
b) On se place dans le cas où rgA=n−1.
SoitC∈ Mn(K)telle que
AC=CA=On

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

C=λB

Enoncés

Exercice 22[ 03190 ][correction]
SoitEorienté de dimension 3 muni d’une base orthonorméeun espace euclidien
directeB= (i j k). Soitθ∈R, déterminer les éléments caractéristiques de

Rotkπ2◦Rotcosθi+sinθjπ

Exercice 23[ 03803 ][correction]
Montrer que la matrice
M= 1−12
3−2

−2
1
−2

−2
−12

est orthogonale.
Calculerdet(M) ?. Qu’en déduire d’un point de vue géométrique
Donner les caractéristiques géométriques deM.

Exercice 24[ 03799 ][correction]
On pose
γ1(t) =a(1−t)~i+bt~javec06t61
~
γ2(t) =acos(s)~i+bsin(s)~javec06s6π2
~

et le champ de vecteurs

~ ~ ~
V=yi+ 2xj

a) Représenter les courbes paramétrées par~γ1etγ~2.
~
b) Le champ de vecteursVdérive-t-il d’un potentielU(x y)?
~
c) Calculer la circulation deVselonγ~1et~γ2. Conclure.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
II) a) SoitΓun cercle passant parF0, tangent àC,Mson centre etRson rayon.
NotonsPle point de contact deCetΓ.
PuisqueΓpasse parF0intérieur àC, le cercleΓest aussi intérieur àC.
Par suite les pointsF,MetPsont alignés dans cet ordre.
PuisqueM P=R=M F0etM F+M P=F P= 2aon a

M F+M F0= 2a

Inversement, un pointMde l’ellipse défini parM F+M F0=rest le centre du
cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.
b) Cette fois-ciΓest à l’extérieur du cercle et les pointsF,MetPsont alignés
dans l’ordreF,P,MouM,F,P. On a alors resp.M F−M F0= 2aou
M F0−M F= 2ad’où
|M F−M F0|= 2a

Inversement, un point de l’hyperbole déterminée par|M F−M F0|=rest le
centre du cercleΓde rayonR=M F0qui est tangent àCet passe parF0.

Exercice 2 :[énoncé]
a)Pest la parabole d’équationy=ax2, c’est une parabole d’axe vertical.
b) La tangente enM0a pour équationy= 2at0(x−t0) +at02avecx0=t0.
La normale enM0a pour équationx+ 2at0y=t0+ 2a2t03.
c) On a
P(X) = (X−t1)(X−t2)(X+t1+t2)
d) Trois droites d’équationsax+by=c,a0x+b0y=c0,a00x+b00y=c00sont
concourantes ou parallèles si, et seulement si,

a b c
a0b0c0= 0
a00b00c00

Le cas de parallélisme