Sujet : Géométrie, Théorème de Lucas
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Etant donné
Théorème de Lucas
Partie I : Parties convexes du plan complexes
s,∈ℂ, on appelle segment d’extrémitéset, l’ensemble,={λ+(1−λ)/λ∈0,1}.
1. Soit,∈ℂ. Montrer que, ,.
=
Une partiedeℂest dite convexe ssi :∀,∈,,⊂.
2. Exemples de parties convexes :
2.a Soit,∈ℂ. Montrer que,est une partie convexe deℂ.
2.b
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
4.c
4.d
Soit={∈ℂ/≤1}. Montrer queest une partie convexe deℂ.
Deux propriétés :
Soit ()∈une famille de parties convexes deℂ.
Montrer que=∩est une partie convexe deℂ.
∈
Soitune partie convexe deℂ.
Montrer, en raisonnant par récurrence, que :
pour tout∈ℕ∗, tout1,…,∈et toutλ1,…,λ>0 , on a=λ1λ11++⋯⋯++λλ∈
Soitune partie deℂetl’ensemble des parties convexes deℂcontenant.
On pose Conv()=∩.
∈
Justifier que Conv() est une partie convexe deℂcontenant.
Observer que siest une partie convexe deℂcontenantalors Conv()⊂.
Ainsi, Conv() apparaît comme étant le plus petit convexe deℂqui contient, on l’appelle enveloppe
convexe de.
Soit,∈ℂet= {,}. Déterminer Conv() .
Soit={∈ℂ/=1}. Déterminer Conv() .
Partie II : Théorème de Lucas
Soit∈ℂun polynôme non constant et1,…,∈ℂses racines deux à deux distinctes.
Notons, pour tout∈ {1,…,},αla multiplicité deen tant que racine de.
1 action ratio l′leurs multiplicités.
.a Déterminer les pôles de la fr nne leainsi que
1.b Justif′=α
ier que=∑1−.
2.a Soitune racine du polynôme′qui ne soit pas racine de.
α
Montrer que∑2(−)=0 .
=1−
+ +λ
2.b En déduire l’existence de réels positifsλ1,…,λ∈ℝ+∗tel que=λ11⋯.
λ1+⋯+λ
3. Conclure que les racines de′appartiennent à Conv{1,…,}, c’est à dire à l’enveloppe convexe de
l’ensemble formé des racines de.
