Sujet : Géométrie, Spirale de Cornu

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Métriques des courbes. Calcul intégral.
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Français

Spirale de Cornu
On se propose dans ce problème d’étudier la courbeΓadmettant, par rapport à un repère orthonormal du plan la représentation paramétrique :()=0cos(2)()=0sin(2)avec. Cette courbe est appelée spirale de Cornu au encore clothoïde. On note( point de) leΓde paramètre. 1.a La courbeΓadmet-elle des éléments de symétries ? 1.b Pour quelles valeurs de, le point() est-il régulier ? birégulier ?
1.c
1.d
1.e
2. 2.a
2.b
2.c
2.d
3.
3.a
3.b
Rq :
 
Etudierγau voisinage du point(0) .
+ Etudier les variations sur de֏() et֏() sur. Pour quelles valeurs dela tangente en( verticale ? horizontale ?) est-elle
On admet quelim()=lim()=2π 2. →+∞ →+∞ Donner l’allure l’arcΓ. Déterminer en fonction de: l’abscisse curviligned’origine(0) , la distance curviligne entre les points(0) et(1) avec0,1, les vecteursetdu repère de Frénêt au point() ,
la courbureλau point( t) lorsque0 .
Pour tout réelnon nul donné, on considère la courberégulière de classe2vérifiant : +est le point origine des abscisses curvilignes. + En, le vecteur tangent de la base de Frénêt égal à + En tout point, on aλ=est l’abscisse curviligne etλla courbure. Donner le paramétrage deen fonction du paramètre. Comment la courbese déduit-elle de la courbeΓ? Si la jonction de deux segments d’autoroutes était réalisée par un arc de cercle de rayon, la courbure passerait subitement de 0 à1. L’accélération normale passerait alors « instantanément » d’une valeur nulle à une valeur significative. Pour éviter ce problème, dans la pratique, on joint deux segments en exploitant la spirale de Cornu. En effet, elle permet de passer régulièrement d’une courbure nulle à toute valeur donnée.
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