Sujet : Géométrie, Points équidistants de deux droites
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Points équidistants de deux droites
Partie I
Soitdroite de l’espace géométrique passant par un pointune et dirigée par un vecteur.
Soitun point de l’espace etson projeté orthogonal sur.
1. Montrer que pour tout pointde la droite, on a≥avec égalité ssi=.
2. On appelle distance du pointà la droitele réel :(,)=.
Montrer que(,)=∧.
3.
Déterminer la distance du point droite 2 àal1:++=1 .
32−−= −1
Partie II
Soitet′deux droites non coplanaires dirigées par des vecteurs unitaireset.
On étudieΣl’ensemble des pointséquidistants deet de′i.e. tels que(,)=(
On note :
· la perpendiculaire commune,
· et′les points de concours deavec les droiteset′,
· le milieu du segment′.
1. On noteθ∈0,πl’écart angulaire entre les vecteurset.
1.a
1.b
1.c
1.d
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
,′) .
ontrer θ sinet 2
+=
M que 2 cos 2−=2θ.
−
On pose +
= ,=et=∧
.
+ −
Montrer que=(;,, un repère orthonormé direct de l’espace.) est
Désormais l’espace sera supposé muni de ce repère.
Observer que=cosθ2+sinθ2,=cosθ2−sinθ2.
′−=.
Montrer qu’il existe∈ℝ∗tel que=et
Soitun point de coordonnées,,.
Exprimer(,) et(,′) en fonction de,,,etθ.
Former une équation cartésienne de l’ensembleΣ.
Pour∈ℝ, on noteΠle plan d’équation=.
On munit ce plan du repère (,,) oùest le point d’intersection deΠ (et de) .
A quelle condition un pointde coordonnées,deΠappartientil àΣ?
Préciser la nature de la courbe intersection deΣavecΠ.
Pourϕ∈ℝ, on poseϕ=cosϕ+sinϕet on considèreΠ′ϕle plan dont (;ϕ, un repère.) est
A quelle condition un pointde coordonnées,deΠϕ′appartient-il àΣ?
Préciser la nature de la courbe intersection deΣavecΠ′ϕ.
