Sujet : Géométrie, Hypocycloïde
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Hypocycloïde
On considère deux nombres réels strictement positifsetαavecα<1 auxquels on associe le réel=α.
Dans toute la suite, on suppose le plan rapporté à un repère orthonormé (;, on considère :) et
· le pointde coordonnées ( ,, 0)
· le cerclede centreet de rayon,
· le cercleγcentré sur la demi-droite [,) , de rayonet tangent intérieurement àen.
De plus, pour tout nombre réel, on considère :
· le cercleγ() centré sur la demi-droite d’angle polaire, rayon, et tangent intérieurement à,
· le pointω( du cercle) centreγ() ,
· le point() en lequel les cerclesγ() etsont tangents.
Il est recommandé aux candidats de construire une figure claire faisant apparaître ces différents éléments.
On fait rouler sans glisser le cercleγà l’intérieur du cercle fixeen supposant qu’il coïncide à l’instant
avec le cercleγ( on étudie la trajectoire) et(α point lié au cercle) duγsitué enà l’instant 0. On désigne
par( position de ce point à l’instant) la(au moment oùγcoïncide avec le cercleγ() ).
Dans la partie I, on détermine un paramétrage complexe de(α) .
Dans les parties II et III, on étudie cette trajectoire pour des valeurs particulières deα.
Partie I
1. L’hypothèse de roulement sans glissement se traduit, par définition, par l’égalité à tout instantdes deux
longueurs des arc orientés()() et() des cerclesγ() et.
1.a Préciser la longueur commune des longueurs de ces deux arcs orientés.
1.b En déduire des mesures des angles orientés (ω()(),ω()()) et (,ω()( fonction de)) en.
2. Déterminer les affixes des points() etω() .
3. En écrivant()=ω()+ω()() , déterminer l’affixe( point) du( fonction de) en,,α.
On vérifiera en particulier l’égalité suivante pourα :1 3
=
()=(32+−2)
On suppose iciα=1 3 .
Partie II : Casα=1 3, la deltoïde
1. Comparer(+2π3) et() puis(−) et() .
Que peut-on en conclure géométriquement et sur quel intervallesuffit-il d’étudier(1 3) ?
2. Déterminer l’affixe′() du vecteur dérivé, préciser son module et un argument pourappartenant à.
En déduire les valeurs deappartenant àpour lesquelles le point() est régulier.
3. Etudier les variations de()=Re(()) et()=Im(()) pourappartenant à.
4. Préciser les tangentes aux points de paramètre 0 etπ3 .
Observer que la tangente en(π orthogonal au vecteur3) est(π3) .
5. Construire la trajectoire(1 3) de() lorsquevarie dansℝ.
On suppose iciα=1 4 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Partie III : Casα=1 4, l’astroïde
Justifier que()=Re(())=cos3et()=Im(())=sin3
.
Comparer(+π) et() d’une part puis(−) et() .
Sur quel intervallesuffit d’étudier(1 4) ?
Etudier les variations de() et() pourappartenant à.
Quelles sont les points singuliers() avecdans. Quelles sont les tangentes en ces points ?
Construire la trajectoire de(1 4)() lorsquevarie dansℝ.
Soit( point régulier de l’arc) un (La tangente en ce point coupe les axes(1 4) . ) et () en
deux points() et() . Calculer la distance()() .
