Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Mesures algébriques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Mesures algébriques
Enoncés
Exercice 1[ 01905 ][correction]
On appelle rapport harmonique de quatre points alignés distinctsA B C Dle réel
Montrer
[A B C D] =CBCA:ADDB
[A B C D] + [D B C A] = 1
Exercice 2[ 01906 ][correction]
Trois droites parallèles sont coupées par une droiteDenA B C.
Montrer que le rapportABACne dépend pas deD.
Exercice 3[ 01907 ][correction]
[Théorème de Ménélaüs]
Une droiteΔcoupe les côtés(BC),(CA)et(AB)d’un triangle(ABC)en trois
pointsA0 B0 C0distincts des sommets.
Etablir
A0B B0C C0A= 1
A0C B0A C0B
en introduisantB00projeté deBsur(AC)parallèlement àΔ.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
donne
[A B C D] + [D B C A] =CDACBDBA+ADCDCBAB
[A B C D] + [D B C A (] =CB+BA)DBBC+D(CBA+BD)BA=
1
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
SoitD0une droite coupant nos trois droites enA0 B0 C0.
SiD0est parallèle àDalorsAC=A0C0etAB=A0B0puis l’égalité des rapports.
SiD0n’est pas parallèle àDalors introduisonsD00la parallèle àD0passant parA.
D00coupe nos trois droites enA00=A B00 C00avec, de part l’étude qui précède,
A00C00A0C0
.
=
A00B00A0B0
Par Thalès (ou une homothétie de centreA) :CABA=AA0000CB0000et la conclusion.
Exercice 3 :[énoncé]
Par Thalès :
puis la conclusion.
A0B B0B00
=
A0C B0C
C0A B0A
et=
C0B B0B00
2
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