Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Coordonnées cartésiennes dans le plan

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Coordonnées cartésiennes dans le plan Exercice 7 [ 01923 ] [correction] (AB) :x− 2y + 3 = 0, (AC) : 2x−y− 3 = 0 et (BC) :x + 2y + 1 = 0. Quelles sont les coordonnées des points A, B et C?Exercice 1 [ 01917 ] [correction] sont les coord de l’orthocentre du triangle (ABC)?Former une équation cartésienne de la droite déﬁnie par le paramétrage : ( x = 1− 2t avec t∈R Exercice 8 [ 01924 ] [correction] y = 2 +t On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct. 1 3 On se donne A et B . Déterminer les coordonnées du point C tel que (ABC) 2 4 Exercice 2 [ 01918 ] [correction] soit un triangle équilatéral direct. On noteC le cercle de centre O et de rayon 1. Former l’équation de la tangente àC au point M(cosθ, sinθ). Exercice 9 [ 01925 ] [correction] 0 0 0Soient A,B,C,A,B ,C six points deux à deux distincts du plan tels que les 0 0 0 0 0 0Exercice 3 [ 01919 ] [correction] triplets ABC,AB C,ABC ,AB C soient alignés tandis que A,B,C ne le sont 2 −1 3 pas. Soient A , B et M des points du plan géométrique dont les coordonnées −→−→ En introduisant le repère cartésienR = (A;AB,AC), montrer que les milieux des1 2 4 0 0 0segments [A,A ], [B,B ] et [C,C ] sont alignés.sont exprimées relativement à un repère orthonormé. a) Calculer la distance du point M à la droite (AB). b) Former l’équation de la perpendiculaire à (AB) passant par M.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Coordonnées cartésiennes dans le plan

Exercice 1[ 01917 ][correction]
Former une équation cartésienne de la droite déﬁnie par le paramétrage :
(x= 1−t2tavect∈R
y= 2 +

Exercice 2[ 01918 ][correction]
On noteCle cercle de centreOet de rayon 1.
Former l’équation de la tangente àCau pointM(cosθsinθ).

Enoncés

Exercice 3[ 01919 ][correction]
2−1 3
SoientA1,B2etMdes points du plan géométrique dont les coordonnées
 4
sont exprimées relativement à un repère orthonormé.
a) Calculer la distance du pointMà la droite(AB).
b) Former l’équation de la perpendiculaire à(AB)passant parM.

Exercice 4[ 01920 ][correction]
Exprimer les coordonnées du projeté orthogonal du pointMde coordonnées(a b)
sur la droite
D:x−2y= 1

Exercice 5[ 01921 ][correction]
On suppose le plan muni d’un repère orthonormé. Former les équations
cartésiennes des bissectrices des droites

D1: 3x+ 4y−7 = 0etD2: 5x−12y+ 7 = 0

Exercice 6[ 01922 ][correction]
Montrer que les droitesDm: 8mx+ (1 + 4m2)y+ 4m= 0sont concourantes.

Exercice 7[ 01923 ][correction]
(AB) :x−2y+ 3 = 0,(AC) : 2x−y−3 = 0et(BC) :x+ 2y+ 1 = 0.
Quelles sont les coordonnées des pointsA,BetC?
Quelles sont les coordonnées de l’orthocentre du triangle(ABC)?

Exercice 8[ 01924 ][correction]
On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct.
1 3
On se donneAetB. Déterminer les coordonnées du e oi(ABC)
24p ntCtel qu
soit un triangle équilatéral direct.

Exercice 9[ 01925 ][correction]
SoientA B C A0 B0 C0six points deux à deux distincts du plan tels que les
tripletsA0BC AB0C ABC0 A0B0C0soient alignés tandis queA B Cne le sont
pas.
En introduisant le repère cartésienR= (A;A−→B A−→C), montrer que les milieux des
segments[A A0],[B B0]et[C C0]sont alignés.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
1−2
Cette droite passe parAet est dirigée par~u1,x+ 2y= 5en est une
2
équation.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Cette tangente a le vecteurO−−M→pour vecteur normal.cosθx+ sinθy= 1en est
une équation.

Exercice 3 :[énoncé]
a)(AB) :x+ 3y= 5donc

d(M(AB)) =|3 +√3×42−5|=√10
1 + 3
b)A−→Best vecteur normal à la perpendiculaire cherchée,−3x+y=−5en est une
équation.

Exercice 4 :[énoncé]
1 2
~
La droiteDpasse parA0et est dirigée paru1.
1 + 2tct∈R.
Les points deDsont lesNave
t

−M−→N∙~u= 2(1 + 2t−a) + (t−b) = 5t−2a−b+ 2

donc
−M−→N t= 2a+b−2
∙u~= 0⇔5
Le projeté deMsurDest donc

N(4a+ 2b+ 1)5
(2a+b−2)5

Exercice 5 :[énoncé]
NotonsB={M∈ Pd(MD1) =d(MD2)}.
x
SoitM∈ B.
y
M∈ B ⇔|3x45+y−7|=|5x−312y+7|⇔14x+ 112y−126 = 0ou64x−8y−56 = 0,
1
Best la réunion des droites :Δ1: 7x+ 56y−63etΔ2: 8x−y−7 = 0appelées
bissectrices deD1etD2.

Exercice 6 :[énoncé]
Les droitesD−1etD1se coupent le point de coordonnéesx=−12ety= 0dont
on vériﬁe l’appartenance à toutes les droitesDm.

Exercice 7 :[énoncé]
On résout les systèmes formés par l’intersection de deux droites. On parvient à
A(33),B(−212),C(1−1).
La hauteur issue deAa pour équation2x−y= 3.
La hauteur issue deBa pour équationx+ 2y=−1.
(celle issue deCa pour équation2x+y= 1).
L’orthocentre estH(1−1)c’est-à-dire le pointC(le triangle est rectangle enC)

Exercice 8 :[énoncé]
−2AB= 2√2,I−→C=√232√2~vec
I32est milieu du segment(AB),A→B2,
na
√−√3 2−√3
~n1−1√22.I−→C√3,C3 +√.
3

Exercice 9 :[énoncé]
,
a
DPuainssqlueerAe0pèrBe0cCo0gilatnsonsdiré:éAnés00,il,Bexi10ste,αC10∈,RA?0t1el−quaeAB−00−C→00b,=αC0−0c0−B.→0i
A.e.
c=
.
b=(ααα−−11a)(a−1)
En notantI J Kles milieux des segments[A A0][B B0][C C0]on a :
(1−a)2c2
Ia2,Jb122,K12
.

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I−→aJ2a)2avec
I−→K(=bα−I−→J
a−1
.
a

b−a−a
=
2 2α

−1)2
)2

etI−→K((c+a
1−a

avec

c+a−1=α(a−1)
2 2

donc

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