Sujet : Géométrie, Géométrie des surfaces, Quadriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Quadriques

Exercice 1[ 00646 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ :z=xy

Donner une équation de son plan tangent en un pointM(x0 y0 z0).

Exercice 2[ 00647 ][correction]
Nature de la quadrique
Σ :z2=λ+x2+y2

selon le paramètreλ.

Exercice 3[ 00648 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σλ:xy+yz+zx=λ

Exercice 4[ 00347 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ :xy+yz+zx= 1

Exercice 5[ 03513 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σλ:xy+yz+zx= 0

Exercice 6[ 00649 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique d’équation :

5x2+y2+z2−2xy+ 2zx−6yz−8x+ 4y+ 8z=λ

avecλ= 34ou 5

Enoncés

Exercice 7[ 00650 ][correction]
SoitΣla surface d’équation

x2+y2z2= 1
−
a2b2c2

1

a) ReconnaîtreΣ.
b) Montrer que les intersections deΣavec des plans horizontaux sont des ellipses
de mme excentricité.

Exercice 8[ 00651 ][correction]
a) Déterminer la nature de la surface d’équation

z=x2−y2

b) Par un point donné de cette surface, combien y a-t-il de droites passant par ce
point et entièrement incluse dans cette surface ?
c) Quel est le lieu des points où ces droites sont orthogonales ?

Exercice 9[ 00652 ][correction]
a) Déterminer la nature de la surfaceΣd’équation

x2+y2−z2= 1

b) Montrer que par tout point deΣpassent exactement deux droites tracées surΣ.

Exercice 10[ 00653 ][correction]
SoitΣune quadrique de centreOque tout plan passant par l’origine. Montrer
coupeΣen des points pour lesquels les plans tangents sont parallèles à une droite
commune.

Exercice 11[ 00654 ][correction]
a) Former une équation cartésienne de la surface obtenue par révolution de la
droite(Oz)autour de l’axe
D:(zx==y1 +y

b) Reconnaître la surface obtenue.

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Exercice 12[ 00655 ][correction]
Une droiteDn’est pas orthogonale à l’axe(Oz).
Quelle est la surface décrite parDen rotation autour de l’axe(Oz)?

Exercice 13[ 00656 ][correction]
SoientDetD0deux droites non coplanaires.
Quel est le lieu des points équidistants deDetD0?
On pourra commencer par introduire la droiteΔperpendiculaire commune aux
0
droitesDetD.

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02935 ][correction]
Reconnaître la surface d’équation

z=x2−y2

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02936 ][correction]
Soitaréel. Déterminer la surface balayée par les droites parallèles au planun
y+z= 0qui coupent les droites

{x+y=a;z= 0}et{z=a;x= 0}

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02937 ][correction]
Reconnaître et réduire la quadrique d’équation :

2x2+ 2y2+z2+ 2xz−2yz+ 4x−2y−z+ 3 = 0

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02938 ][correction]
Reconnaître, siα∈R, la quadrique d’équation :

x2+ 3y2−3z2−4xy+ 2xz−8yz+αx+ 2y−z= 1

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 03202 ][correction]
Montrer que la surface d’équation

13x2+ 10y2+ 5z2−4xy−6xz−12yz−14 = 0

est un cylindre dont on précisera l’axe et le rayon.

Enoncés

Exercice 19[ 03691 ][correction]
Déterminer la nature de la quadrique

Σ : 2x2+y2−4xy−4yz−2y+ 4z=k

en discutant selon la valeur dek∈R.

Exercice 20CCP MP[ 02572 ][correction]
Quelle est la matrice associée à la surface

xy+yz+zx=λ

avecλ∈R?
Quelles sont ses valeurs propres ?
Montrer qu’il s’agit d’une surface de révolution autour d’un axe à déterminer.
Etude et tracé qualitatif suivantλ.

Exercice 21Centrale PC[ 03813 ][correction]
SoitE=R3muni de son produit scalaire canonique.
a) Calculer la distance euclidienne d’un pointM= (a b c)au planΠd’équation
x+y=zdans la base canoniqueCorthonormale.
b) Donner une équation cartésienne, dansC, deS: ensemble des points deE
équidistants deA= (111)au planΠ. Nature deS?
Préciser l’intersection deSavec un plan passant parAet perpendiculaire àΠ.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Σest un paraboloïde hyperbolique. Son plan tangent enMa pour équation
y0x+x0y−z=z0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Siλ >0,Σest un hyperboloïde à deux nappes et de révolution (viva zappata).
Siλ= 0,Σest un cône.
Siλ <0,Σest un hyperboloïde à une nappe de révolution.

Exercice 3 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
12100110111

de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(~wuv~~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;w~v~u~)
est
12−1z2=λ
x2−2y2
C’est une surface de révolution d’axe(O;u~)
Siλ= 0, il s’agit d’un cône.
Siλ >0, il s’agit d’un hyperboloïde à deux nappes.
Siλ <0, il s’agit d’un hyperboloïde à une nappe.

Exercice 4 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
1101110
21 1 0





de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(u~v~w~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;vw~~u~)
est
x2−12y2−12z2= 1

soit encore
21y221+z2−x2=−1
La surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Exercice 5 :[énoncé]
La forme quadratique est de matrice
0 1 1
21111001

3

de valeurs propres1−12−12.
En introduisant(w~v~u~)base orthonormée formée de vecteurs propres associées
aux valeurs propres respectives1−12−12, une équation deΣdans(O;u~~vw~)

est
x2−1
2y2−12z2= 0
Il s’agit d’un cône de révolution.

Exercice 6 :[énoncé]
Les valeurs propres de la matrice
5−1
−1 1
1−3

1
−3
1

sont36−2.
Soit(~u~vw~)base orthonormée telle que la matrice de la forme quadratique y soit
300006−200

Les valeurs propres ne sont pas nulles, on a affaire à une quadrique à centre.
Le centre s’obtient en résolvant :
21−0x2xx−−+62y2yy++−22z6zz+−0=0840=+8=

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1
On obtientΩ 2.
1
Dans le repère(Ω;w~~vu~), on obtient l’équation

3x2+ 6y2−2z2+k= 0

aveckla valeur enΩi.e.k= 4−λ.
Siλ= 5, c’est un hyperboloïde à une nappe.
Siλ= 4, c’est un cône.
Siλ= 3, c’est un hyperboloïde à deux nappes.

Exercice 7 :[énoncé]
a)Σest un hyperboloïde à une nappe.
b)P:z=λ. Dans le planPmuni du repère(Oλ;i~j~)avecOλ(00 λ), une
équation de l’intersection deΣavecPest
2
ax22+yb221 +λc2
=
C’est l’équation d’une ellipse où

a0=aetb0=b
q1 +cλ2q1 +λc22
2

L’excentricité de cette ellipse est
c0√a02−b02√a2−b2
e=a0=a0=a
indépendante deλ.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On reconnaît ici l’équation d’un paraboloïde hyperbolique.
x0
b) SoitM0y0tel que
z0
z0=x20−y20
S