Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Théorème des fonctions implicites

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Théorème des fonctions implicites

Exercice 1[ 00610 ][correction]
a) Montrer que la relation

x4+y3−2x2y−1 = 0

Enoncés

définit implicitementyen fonction dexau voisinage de(01).
b) Former un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui
àxassociey.

Exercice 2[ 00611 ][correction]

Montrer que la relation
siny+y+ex= 1
définit implicitementyen fonction dexau voisinage de(00).
Régularité de la fonction ainsi définie et développement limité à l’ordre 3 en 0 ?

Exercice 3[ 00612 ][correction]
Montrer que la relation
y3+ (x2+ 1)y+x4= 0
définit implicitementyen fonction dexsurRet l’applicationϕ:x7→yest de
classeC∞surR.

Exercice 4CCP MP[ 03370 ][correction]
Soitfdéfinie surR2par

f(x y) =x3+y3−3xy−1

a) Montrer que la conditionf(x y) = 0définit au voisinage de(01)une fonction
implicitex7→y=φ(x).
b) Donner un développement limité à l’ordre 3 deφau voisinage de 0.

Exercice 5[ 03512 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1vérifiant

f(00) = 0,∂∂fx(00)6=−1ety∂f∂(00)6= 0

Montrer que la relationf(f(x y) y) = 0définit implicitementyen fonction dex
au voisinage de(00).

Exercice 6CCP MP[ 03369 ][correction]
Soitfdéfinie surR2par

f(x y) =x3+y3−3xy−1

1

a) Montrer que la conditionf(x y) = 0définit au voisinage de(01)une fonction
implicitex7→y=φ(x).
b) Donner un développement limité à l’ordre 3 deφau voisinage de 0.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Posons
f(x y) =x4+y3−2x2y−1
fest de classeC∞sur l’ouvertR2,f(01) = 0et

∂∂fy(01) = 36= 0

Corrections

Par le théorème des fonctions implicites, il existeϕ:I→Jde classeC∞avecIet
Jintervalles ouverts centrés respectivement 0 et 1 telle que

∀x∈I∀y∈J,f(x y) = 0⇔y=ϕ(x)

b) L’applicationϕétant de classeC∞, elle admet donc unDL3(0)qui sera de la
forme :
ϕ(x) =a+bx+cx2+dx3+o(x3)
a=ϕ(0) = 1 b=ϕ0(0) = 0, puis en injectant le développement limité dans la
relation
f(x ϕ(x)) = 0

on obtientc= 23etd= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
Posonsf(x y) = siny+y+ ex−1.fest de classeC∞,f(00) = 0et
∂∂yf(00) = 26= 0.
Par le TFI, il existeϕ:I→Jde classeC∞avecIetJintervalles ouverts centrés
en 01 telle que
∀x∈I∀y∈J,f(x y) = 0⇔y=ϕ(x).
L’applicationϕétant de classeC∞elle admet donc unDL3(0)qui sera de la
forme :
ϕ(x) =a+bx+cx2+dx3+o(x3).
a=ϕ(0) = 0,b=ϕ0(0) =−12puis en injectant le développement limité dans la
relationf(x ϕ(x)) = 0on obtientc=−14etd=−332.

Exercice 3 :[énoncé]
Soitx∈R. La fonctionh:y7→y3+ (x2+ 1)y+x4est dérivable et
h0(y) = 3y2+x2+ 1>0donchréalise une bijection strictement croissante deR

2

versl−im∞hl+im∞h=R. Par suite, il existe un uniquey∈Rvérifianth(y) = 0. En
posanty=ϕ(x), on peut affirmer que la relationy3+ (x2+ 1)y+x4= 0définit
implicitementx7→ϕ(x)surR.
Soitx0∈R,y0=ϕ(x0)etf: (x y)7→y3+ (x2+ 1)y+x4.
fest de classeC∞,f(x0 y0) = 0etf∂y∂(x0 y0) = 3y20+x02+ 16= 0FIeTlrapAcsnnoidϕ,
il existe une fonctionψde classeC∞au voisinage dex0coïncidant avecϕ. i
estC∞au voisinage de toutx0∈Ret finalementϕestC∞.

Exercice 4 :[énoncé]
a) La fonctionfest de classeC1,f(01) = 0et

∂∂yf(01) = 36= 0

donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites définissantφau
voisinage de 0.
b) Puisquefest de classeC∞, le théorème des fonctions implicites assure queφ
est aussi de classeC∞au voisinage de 0. En particulierφest de classeC3et donc
admet un développement limité à l’ordre 3. Puisqueφ(0) = 1, ce développement
est de la forme
φ(x) = 1 +ax+bx2+cx3+o(x3)

Puisquef(x φ(x)) = 0au voisinage de 0, on a

et donc

x3+ (1 +ax+bx2+cx3+o(x3))−3x(1 +ax+bx2+o(x2)) = 1

x3+ (1 +ax+bx2+cx3+o(x3))3−3x(1 +ax+bx2+o(x2)) = 1

ce qui donne

3(a−1)x+ (3a2−3a+ 3b)x2+ (1 +a3+ 6ab−3b+ 3c)x3+o(x3) = 0

Par unicité des coefficients d’un développement limité, on obtient

a= 1 b= 0etc=−23

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsg:R2→Rla fonction définie par

g(x y) =f(f(x y) y)

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Par composition, la fonctiongest de classeC1,g(00)et

∂∂yg(00) =f∂y∂(00)×x∂f∂(00) +∂y∂f(00)6= 0

Corrections

On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites et assurer que la
relationg(x y) = 0définit implicitement une fonctionϕ:x7→yde classeC1au
voisinage de(00).

Exercice 6 :[énoncé]
a) La fonctionfest de classeC1,f(01) = 0et

∂∂fy(01) = 36= 0

donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites définissantφau
voisinage de 0.
b) Puisquefest de classeC∞, le théorème des fonctions implicites assure queφ
est aussi de classeC∞au voisinage de 0. En particulierφest de classeC3et donc
admet un développement limité à l’ordre 3. Puisqueφ(0) = 1, ce développement
est de la forme
φ(x) = 1 +ax+bx2+cx3+o(x3)

Puisquef(x φ(x)) = 0au voisinage de 0, on a

et donc

x3+ (1 +ax+bx2+cx3+o(x3))−3x(1 +ax+bx2+o(x2)) = 1

x3+ (1 +ax+bx2+cx3+o(x3))3−3x(1 +ax+bx2+o(x2)) = 1

ce qui donne

3(a−1)x+ (3a2−3a+ 3b)x2+ (1 +a3+ 6ab−3b+ 3c)x3+o(x3) = 0

Par unicité des coefficients d’un développement limité, on obtient

a= 1 b= 0etc=−23

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