Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées polaires classiques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Courbes en coordonnées polaires classiques

Enoncés

Exercice 1[ 00601 ][correction]
[Cardioïde]
On considère la cardioïdeΓd’équation polairer= 1 + cosθde point courant
M(θ).
a) Etudier et représenter la courbeΓ.
b) Montrer que le milieuI(θ)du segment d’extrémitésM(θ)etM(θ+π)évolue
sur un cercleCque l’on précisera. Calculer la longueurI(θ)M(θ).
c) On noteJ(θ)le point du cercleCdiamétralement opposé au pointI(θ).
−−−
ExprimerOJ(θ→)en fonction deθet du vecteurv~θde la base polaire.
d) A quelle(s) condition(s) a-t-onJ(θ) =M(θ)? On suppose désormais ce cas
exclu.
e) Montrer que la droite joignant les pointsJ(θ)etM(θ)est orthogonale à la
tangente àΓenM(θ)
f) Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du
cercleC, de construire les pointsM(θ)et les tangentes àΓen ces points.

Exercice 2[ 00602 ][correction]
[Lemniscate de Bernoulli]
On considère les pointsF(10)etF0(−10).
a) Déterminer une équation polaire de l’ensembleCformé des pointsMvérifiant

M FM F0= 1

b) Etudier et tracer cette courbe.

Exercice 3[ 00603 ][correction]
[Cissoïde droite]
a) Etudier la courbe d’équation polaire

sin2θ
ros=cθ

b) SoitMun point de cette courbe autre queO. On notePl’intersection de la
droite(OM)avec la droite d’équationx= 1etQle point de l’axe(Oy)de mme
ordonnée queP. Montrer que le triangle(M P Q)est rectangle enM.
c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 4[ 00604 ][correction]
[Strophoïde droite]
a) Etudier la courbe d’équation polaire

cos 2θ
r=
sinθ

1

b) On noteF01et on considèrePun point de l’axe(Ox)autre queO.

−
Montrer que les pointsMintersection de la droite(F P)et de la courbe sont tels
queP M=P O.
c) En déduire un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 5[ 00605 ][correction]
[Trisectrice de Mac Laurin 1698-1746]
a) Etudier la courbe d’équation polairer=1(socθ3)pourθ∈]−3π23π2[.
On précisera notamment la tangente enθ=π.
b) Etablir, pour toutθ∈]−3π23π2[la formule :

sinθsin(θ3)
=
cosθ+ 2 cos(θ3) cos(θ3)

c) On noteΩle point double de la courbe etMun point de cette courbe autre
queΩ.
La droite(ΩeMO)Pco=upOeMirtaudelcealidémtegna’leuq(i~seg−Ω→mPe)stent[Ωle Oti]opnitdsleenruenela’gnP(i~. O−−M→).
Montrer qu
d) Donner un procédé permettant de construire la courbe étudiée.

Exercice 6[ 03773 ][correction]
Etudier et construire la courbe d’équation polaire

r2= cos(2θ)

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) = 1 + cosθest définie et de classeC∞surR.
r(θ+ 2π) =r(θ)doncM(θ+ 2π) =M(θ).
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude sur[0 π]. La courbe obtenue sera complétée par la
symétrie d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
2

&

π
0

Etude enθ= 0
r(0) = 2etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π
r(π) = 0. Il s’agit d’un passage par l’origine.
θ π
r(θ) + 0 +
M(π) =Oest un point de rebroussement de première espèce dont la tangente est
la droite d’équation polaireθ=π.
plot([1+cos(t), t, t=0..2*Pi], coords=polar);

Cardioïde b) PuisqueI(θ)est le milieu du segment[M(θ)M(θ+π)]
−−−
−O−I(−θ→)=12O−M(θ→+)21O−M−−(−θ−+−−π→) = cos(θ)u~θ

2

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Corrections

Le pointI(θ)évolue donc sur la courbe d’équation polairer= cosθ. Celle-ci est le
cercle de cen12as
treΩ0p sant parO.
Les pointsM(θ),OetM(θ+π)sont alignés dans cet ordre donc

c) On a

d)

I(θ)M(θ=)21M(θ)M(θ+π()21=OM(θ) +OM(θ+π)) = 1

−−−→~
OJ(θ) =−O→Ω + Ω−−J−(θ→2)=1i−Ω−−I(−θ→) =i~− −O−I−(θ→) =−sinθ~vθ

−−
J(θ) =M(θ)⇔O−J−(−θ→) =O−−M(θ→)⇔1 + cosθ= 0etsinθ= 0⇔θ= 0

e) On aM(θ) =J−(θ−)−→O+−−M−−(→sθ)~uθ+ sinθ~vθ
J−(−θ−)−−−→O θ) = (1 + co
La tangente enM(θ), régulier est dirigée par

[π]

d−O−−M→(θ) =r0(θ)u~θ+r(θ)~vθ=−sin~uθθ+ (1 + cosθ)v~θ
dθ
−−
Les vecteursJ−(−θ−)−M−−(θ→)etdOdθM→(θ)sont donc orthogonaux.
f) On choisit un pointI(θ)(=I(θ+π)) sur ce cercleCautre queO.
A la distance 1 de ce point, et sur la droite(OI(θ))on positionne les pointsM(θ)
etM(θ+π).
En introduisantJ(θ), point diamétralement opposé àI(θ)surC, on peut
construire les normales àΓenM(θ)etM(θ+π)puis les tangentes en ces points.

Exercice 2 :[énoncé]
a) SoientMun point du plan et(r θ)un système de coordonnées polaires deM.

M FM F0= 1⇔M F2M F02= 1⇔((rcosθ−1)2+rsin2θ)((rcosθ+1)2+rsin2θ) = 1

Finalement

M FM F0= 1⇔(r2+ 1−2rcosθ)(r2+ 1 + 2rcosθ) = 1
M FM F0= 1⇔(r2+ 1)2−4r2cos2θ= 1

M FM F0= 1⇔r2(r2−2 cos 2θ) = 0

Considérons alorsΓla courbe d’équation polaire :r=√2 cos 2θ.
En vertu de ce qui précède on a déjàΓ⊂ C.
Inversement, soitM∈ C.
SiM6=OalorsMpossède un représentant polaire(r θ)avecr >0et par
conséquentM∈Γ.
SiM=OalorsM∈ΓcarO∈Γ(prendreθ=π4).
Finalementr=√2 cos 2θest une équation polaire de la courbeC.
b)r:θ7→r(θ) =√2 cos 2θest définie et continue sur les intervalles
[−π4 π4] +kπaveck∈Z.
La fonctionrest de classeC∞sur les intervalles]−π4 π4[ +kπaveck∈Z.
r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Ox)
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par les symétries de centreOet d’axe(Ox).
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
√2&

Etude enθ= 0.
r(0) =√2etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π4.
r(π4) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,

θ
r(θ)

π4
0

π4
+ 0||

Il y a une demi-tangente enM(π4) =Oqui est la droite d’équation polaire
θ=π4.
plot([sqrt(2*cos(2*t)), t, t=0..2*Pi], coords=polar, numpoints=200,
xtickmarks=3, ytickmarks=3);

3

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Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a)r:θ7→r(θ) =osncsi2θθ=1θ−cosθest dé