Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Courbes en coordonnées polaires

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Courbes en coordonnées polaires

Exercice 1[ 00597 ][correction]
Etudier la courbe d’équation polaire

r cos 2= 1 + 2θ

Exercice 2[ 00592 ][correction]
Etudier la courbe d’équation polaire

cos 2θ
rcos=θ

Exercice 3[ 00598 ][correction]
Etudier la courbe d’équation polaire

r= tanθ

Exercice 4[ 00599 ][correction]
Etudier la courbe d’équation polaire

Exercice 5[ 00600 ][correction]
Etudier la courbe

1
=
rsin 2θ

cosθ
=
r1−cosθ

Exercice 6[ 01336 ][correction]
a) Tracer la courbe d’équation polaire

sinθ
r=θ

Enoncés

b) Montrer que les pieds des normales à cette courbes issues deOsont cocycliques.

Exercice 7CCP MP[ 02561 ][correction]
Etudier la courbe d’équation

1−cosθ
ρ(θ) = + sin 1θ

Exercice 8CCP PC[ 03378 ][correction]
On posef:C→Cdonnée par

a) Montrer

f(z) = 1 +z+z2

f(eiθ) = (1 + 2 cosθ)eiθ

1

b) Montrer que la courbeΓtransformée du cercle unitéCpar la fonctionfest la
courbe d’équation polaire
r= 1 + 2 cosθ

c) TracerΓ.
d) Déterminer les angles polaires repérant les points de la courbe où la tangente
est parallèle à l’un des axes du repère.
e) Exprimer la longueur de la courbe à l’aide d’une intégrale.

Exercice 9CCP MP[ 02550 ][correction]
Décrire, dans le plan complexe, le lieu des nombres complexes

oùzdécrit le cercle unité.

u= 1 +z+z2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
r:θ7→r(θ) = 1 + 2 cos 2θest définie et de classeC∞surR.
r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2]. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Ox)et la symétrie de centreO.
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
3

π3
0

Etude enθ= 0
r(0) = 3etr0(0) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π2
r(π2) =−1etr0(π2) = 0.
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude enθ=π3
r(π3) = 0il s’agit d’un passage par l’origine.,

θ
r(θ)

+

π3
0

π2
−1

−

M(π3) =Oordinaire dont la tangente est la droite d’équationest un point
polaireθ=π3
plot([1+2*cos(2*t), t, t=-Pi..Pi], coords=polar);

La courbe d’équation polairer cos 2= 1 + 2θ

Exercice 2 :[énoncé]
r:θ7→r(θ) =coscos2θθest définie etC∞sur le domaine
[ i−π2 +kπ π2 +kπh
k∈Z

restπantipériodique et doncM(θ+π) =M(θ).
On peut limiter l’étude à l’intervalle]−π2 π2[et la courbe sera intégralement
obtenue.
r(−θ) =r(θ)doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2[. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Ox).

On en déduit les variations

r0(θ) sinθ(2 cos22θθ+ 1)
=−
cos

θ
r(θ)

Etude enθ= 0
r(0) = 1etr0(0) = 0.
EnM(0)la tangente est orthoradiale.

0
1

&

π2
−∞

2

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Etude quandθ→(π2)−
r(θ)→ −∞,
d(θ) =r(θ) sin(θ−π2) =−cos(2θ)→1−
La droite d’équationx=−1est asymptote et la courbe est à droite.
Etude enθ=π4
r(π4) = 0, c’est un passage par l’origine

θ
r(θ)

+

π4
0

−

Corrections

M(π4) =Oordinaire dont la tangente est la droite d’équationest un point
polaireθ=π4.
plot([cos(2*t)/cos(t), t, t=-Pi/2..Pi/2], coords=polar, view=[-2..2,
-2 .2]);
.

La courbe d’équation polairersooc=c2sθθ

3

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Exercice 3 :[énoncé]
r:θ7→r(θ) = tanθest définie et de classeC∞sur le domaine

[ i−2π+kπ π2 +kπh
k∈Z

Corrections

r(θ+π) =r(θ)doncM(θ+π)est l’image du pointM(θ)par la symétrie de
centreO..
r(−θ) =−r(θ)doncM(−θ)est l’image du pointM(θ)par la symétrie d’axe(Oy).
On peut limiter l’étude à l’intervalle[0 π2[. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe(Oy)et de centreO.
On a le tableau de variation.

θ
r(θ)

0
0

%

Etude enθ= 0.
r(0) = 0, il s’agit d’un passage par l’origine.

θ
r(θ)

0
−0

π2
+∞

+

M(0) =Oest un point ordinaire dont la tangente est la droite d’équation polaire
θ= 0.
Etude quandθ→(π2)−.
r(θ)→+∞
d(θ) =r(θ) sin(θ−π2) =−sinθ→(−1)+
La droite d’équationx= 1est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de
l’asymptote
plot([tan(t), t, t=-Pi..Pi], coords=polar, view=[-2..2, -2..2]);

La courbe d’équation polairer= tanθ

Exercice 4 :[énoncé]
r:θ7→r(θ) = 1sin(2θ)est définie et de classeC∞sur le domaine
k∈[Zk2π(k2)+1π

La fonctionrestπpériodique et impaire, on peut limiter l’étude à l’intervalle
]0 π2[.
Puisquer(π2−θ) =r(θ), les pointsM(π2−θ)etM(θ)sont symétriques par
rapport à la droite d’équation polaireθ=π4.

4

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Corrections

On peut limiter l’étude à l’intervalle]0 π4]. La courbe obtenue sera complétée
par la symétrie d’axe la droite d’équationθ=π4, la symétrique d’axe(Oy)et
enfin la symétrie de centreO.
On a le tableau de variation

θ
r(θ)

0
+∞

&

π4
1

Etude de enθ=π4
r(π4) = 1,r0(π4) = 0
Il y a une tangente orthoradiale.
Etude quandθ→0+
.
r(θ)→+∞.
d(θ) =r(θ) sin(θ) =y(θ) =s21ocθ→1+2.
La droite d’équationy= 12est asymptote à la courbe avec la courbe au dessus.
plot([1/sin(2*t), t, t=-Pi..Pi], coords=polar, view=[-2..2, -2..2]);

La courbe d’équation polairer= 1sin 2θ

Exercice 5 :[énoncé]
cos
r:θ7→r(θ) =1−cosθθest

définie et de classeC∞sur le domaine
[]2kπ(2k+ 1)π[
k∈Z

5

La fonctionrest2π-périodique doncM(θ) =M(θ+ 2π)
La fonctionrest paire doncM(−θ)est le symétrique deM(θ)par rapport à l’axe
(Ox).
On peut limiter l’étude à l’intervalle]0 π]. La courbe obtenue sera complétée par
la symétrie d’axe(Ox)

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r0(θ) =−(1−oscsinθθ)2.

θ
r0(θ)
r(θ)