Sujet : Géométrie, Géométrie des courbes, Conique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Conique

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 00630 ][correction]
Donner la nature de la conique d’équation

16x2−24xy+ 9y2+ 25x−50y= 0

Préciser les sommet, foyer et directrice.

Exercice 2[ 03014 ][correction]
Réduire la conique d’équation :

3x2−2xy+ 3y2−8x+ 8y+ 6 = 0

Donner, sa nature et ses éléments caractéristiques.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02930 ][correction]
Donner l’équation réduite et la nature de la conique donnée par

x2+ 3xy+ 2y2−x−2y+ 1 = 0

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02932 ][correction]
Soient des réelsa b a0 b0Montrer que les courbes d’équation respectives.

(ax+by)2+ (a0x+b0y)2= 1et(ax+a0y)2+ (bx+b0y)2= 1

sont isométriques.

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02933 ][correction]
Reconnaître et tracer la courbe d’équation

13x2−32xy+ 37y2= 5

Exercice 6Mines-Ponts PC[ 01562 ][correction]
SoientA(10)etB(02)dans un repère orthonormé(Oxy).
Déterminer une équation cartésienne de la parabole passant parAetB, et
tangente respectivement à(Ox)et(Oy)en ces points.

Enoncés

Exercice 7[ 03356 ][correction]
On considère la courbe
Γ =(x y)∈R+2√x+√y= 1

Déterminer la nature de la courbeΓ.

Exercice 8[ 03511 ][correction]
Déterminer l’excentricité de la conique d’équation

x2+ 8xy−5y2−28x+ 14y+ 3 = 0

Exercice 9[ 02917 ][correction]
Trouver l’image du cercle unité parf:Cj j2→Cdéfinie par

f:z→1 +z1+z2

Exercice 10CCP MP[ 02578 ][correction]
Natures, axes et équation réduite de la conique d’équation

2x2+ 3xy+ 2y2−4x−3y= 0

Exercice 11CCP MP[ 02545 ][correction]
Allure de la courbe d’équation cartésienne

y2−(3x2+ 2x+ 1) = 0

Lieu des pointsMd’affixeztels que les points d’affixesz,z2etz5 ?soit alignés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La matrice−2161−921a pour valeurs propres0et25.
~
Posonsu~=53i+45~jet~v=−45~i+35j~vecteurs propres unitaires associées à ces
valeurs propres.
Dans le repère orthonorméR= (~~Ov)l’équation deΓest
;u

soit encore

25y2−50y−25x= 0

(y−1)2=x+ 1

−1
Γest la parabole de sommetS1, d’axe focal(S;~u)et de paramètrep= 12.
Le foyer estF=S+1~uet la directrice passe parK=S−12~uet est dirigée parv~.
2

Exercice 2 :[énoncé]
La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres 2 et 4. C’est une
conique à centre.
La forme quadratique est diagonalisée dans la base orthonormée formée des
vecteurs
u~=√2(1~i+~j)etv~=√(12−i~+~j)

1
Par annulation de gradient, le centre estΩ.
−1
L’équation dans le repèreR= (Ω;~u~v)est

2x2+ 4y2+C= 0

avec la constanteCégale à la valeur du premier membre de l’équation initiale en
Ω.
On obtientC=−2et finalement on parvient à l’équation

x2+ 2y2= 1

La conique est donc une ellipse de centreΩ, d’axe focal(Ω;~u)et les valeurs
caractéristiques sont
a= 1,b= 1√2,c= 1√2ete= 1√2

Exercice 3 :[énoncé]
La forme quadratique sous-jacente a pour valeurs propres3±2√10. C’est une
conique à centre.
2
Par annulation des dérivées partielles, le centre estΩ.
−1
On obtient l’équation réduite
√10−323 +√10y2= 1
x−
2 2
La conique étudiée est une hyperbole.

Exercice 4 :[énoncé]
Les deux courbes sont des coniques.
Pour réduire la première, on étudie la matrice
aab2++aa00b20bba2++ab002b0

Son polynôme caractéristique est

X2−2X(a2+a02+b2+b02) + (ab0−a0b)2

2

La réduction de la deuxième conique conduit au mme polynôme caractéristique.
Il existe donc deux repères orthonormés d’origineOdans lesquels ces deux courbes
sont définies par la mme équation réduite. Ces courbes sont donc isométriques.

Exercice 5 :[énoncé]
On réduit la matrice−6311−7316de valeurs propres 5 et 45.
C’est une conique à centre
Pour~u=√51(2i~+j~)et~v=√15(i~−2~j), dans le repère(O;~uv~)la courbe a pour
équation :
x2+ 9y2= 1

On reconnaît une ellipse d’axe focal(O;u)déterminée para= 1etb= 13.

Exercice 6 :[énoncé]
SoitPune parabole solution. Une équation cartésienne dePest de la forme

ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey=k

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avecac−b2= 0carPest une conique dégénérée.
Puisque les tangentes(Ox)et(Oy)sont sécantes enO, la parabolePne passe pas
Oet donck6= 0. En divisant les coefficients inconnusa b c d epark, on peut
supposerk= 1.
PuisqueA∈ P, on a
a+ 2d= 1

Par dédoublement, la tangente enAàPa pour équation

ax+by+d(x+ 1) +ey= 1

Cette droite correspond à l’axe(Ox)si, et seulement si,
ba++edd=60=0=1

On en déduita=−1etd= 1.
L’étude similaire enBdonne

4c+ 4e= 1
e= 12
2c+e= 0
2b+d6= 0

On en déduitc=−14ete= 12.
Enfin la conditionac−b2= 0donneb=±12.
Orb+e6= 0(ou2b+d6= 0) imposeb6=−12et il resteb= 12.
Au final
P:−x2+xy−41y2+ 2x+y= 1
Inversement, cette parabole est solution.

Exercice 7 :[énoncé]
La courbeΓest incluse dans le pavé[01]2.
Pour(x y)∈[01]2, on a
(x y)∈Γ⇔y= (1√−x)2

puis

et enfin

(x y)∈Γ⇔2√x= 1 +x−y

(x y)∈Γ⇔x2+y2−2xy−2x−2y+ 1 = 0

AinsiΓest la portion incluse dans[01]2de la conique
Γ0:x2+y2−2xy−2x−2y+ 1 = 0

La forme quadratique associée à cette équation a pour matrice dans la base
canonique
−11−11
Celle-ci à pour valeurs propres 2 et 0.
Considérons alors de repère d’origine(00)et dirigé par~u=√12(11)et
√
v~=12(−11).
Après calculs,
x~u+y~v∈Γ0⇔2y2−2√2x+ 1 = 0
Γ0est donc une parabole de sommetS=2√21u~=4114et d’axe focal(S;u~).
Γest la portion de cette parabole incluse dans[01]2.
Pour parfaire l’allure deΓ, on peut remarquer que les tangentes àΓaux points
(10)et(01)sont les axes coordonnées

3

Exercice 8 :[énoncé]
C’est une conique non dégénérée et les valeurs propres de la matrices représentant
la forme quadratique sont 3 et−7.
Par annulation du gradient, on obtient que le centre de cette conique est le point
de coordonnées(23).
Dans un repère adapté, on obtient alors l’équation réduite

3x2−7y2= 4
La conique est donc une hyperbole aveca= 2√3etb= 2√7.
On en déduit
c=pa2+b2= 2√√0112
puis
√10

e=√3

Exercice 9 :[énoncé]
Pourz∈Uj j2, on peut écrirez= eiθ, et on vérifie

e−iθ
f(z + e) 1iθe+12iθ1 + 2 cosθ
= =

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Lesf(z)parcourt donc la courbe d’équation polaire

soit encore

1
r=
1 + 2 cos(−θ)

1
=
r1 + 2 cos(θ)

Il s’agit d’une hyperbole de foyerO, d’excentricité 2 et d’axe focal(Ox).

Exercice 10 :[énoncé]
La forme quadratique associée a pour matrice
233222

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