La lecture à portée de main
5
pages
Français
Documents
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
5
pages
Français
Ebook
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Publié par
Nombre de lectures
67
Licence :
Langue
Français
Publié par
Nombre de lectures
67
Licence :
Langue
Français
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Calculs de limites
Exercice 1[ 02254 ][correction]
Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites(un)suivantes :
3n(−2)n
−
a)un=3n+ (−2)nb)un=pn2+n+ 1−pn2−n+ 1
c)un=nn+√√−n2211+d)un=n12k=Xn1k
n−
Exercice 2[ 02255 ][correction]
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
a)un=1 +n1nb)un=n√n2
c)un=sin 1n1nd)un=nn−11+n
Exercice 3[ 02256 ][correction]
Déterminer par comparaison, la limite des suites(un)suivantes :
sinn
=
ac))uunnn−+((−−11))n+1
n
n=n+ (−1)n
e)un=p2 + (−1)n
n
n!
b)un=
nn
d en
=
)unnn
Exercice 4[ 02257 ][correction]
Déterminer les limites des sommes suivantes :
n
Xn√kb)Sn=X1
a)Sn=k=1k=1√k
n
c)Sn=Xn2+1k2d)Sn=2Xnk12
k=1k=n+1
e)Sn=nkX=1n2n+kf)Sn=Xn1+k
k=1√n2
n
g)Sn=X(−1)n−kk!
k=0
Enoncés
Exercice 5[ 02258 ][correction]
Comparer
1
ml→im+∞nl→im+∞1−1nm,nl→i+m∞ml→im+∞1−n1metnl→i+m∞1−nn
Exercice 6[ 02259 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On supposen√un→`.
a) Montrer que si` <1alorsun→0.
b) Montrer que si` >1alorsun→+∞.
c) Montrer que dans le cas`= 1on ne peut rien conclure.
Exercice 7[ 02260 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On suppose
un+1→`
un
a) Montrer que si` <1alorsun→0.
b) Montrer que si` >1alorsun→+∞.
c) Observer que dans le cas`= 1on ne peut rien conclure.
Exercice 8[ 02261 ][correction]
Pour toutn∈N, on pose
n1kn−1
Sn=X
k=1n+ketS0n=kX=1(−1k)
a) Etablir que pour toutp >1,
1pdx
Zpp+1dx6 6Z
x pp−1x
En déduire la limite de(Sn).
b) Etablir queS20n=Sn. En déduire la limite de(S0n).
Exercice 9[ 02262 ][correction]
Soita∈Ret pourn∈N,
n
a
Pn=Ycosk
2
k=1
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Montrer que
et déterminerlimPn.
n→∞
sin2anPn sin= 1a
2n
Exercice 10[ 02263 ][correction]
Déterminer la limite de
un=nk=X0kn!−1
Exercice 11[ 02264 ][correction]
Soitp∈N {01}. Pourn∈N?on pose
un=nn+p!−1
n
etSn=Xuk
k=1
a) Montrer que
∀n∈N,(n+p+ 2)un+2= (n+ 2)un+1
b) Montrer par récurrence
Sn=p−11(1−(n+p+ 1)un+1)
c) On pose∀n∈N?vn= (n+p)un. Montrer que(vn)converge vers 0.
d) En déduirelimSnen fonction dep.
Exercice 12X MP[ 03039 ][correction]
Soitz∈Cavec|z|<1. Existence et calcul de
n
n→m+∞Y 1 +z2k
li
k=0
Exercice 13[ 03196 ][correction]
Etudier la convergence de deux suites réelles(un)et(vn)vérifiant
nl→im+∞(un+vn) = 0etnl→im+∞(eun+ evn) = 2
Enoncés
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a)
b)
c)
d)
un=
1−(−23)n
un + (= 1−23)n→1
2n2
=
√n2+n+ 1 +√n2−n+ 1q1 +1n+n12+q1−1n+n12→1
un=pp1 + 1n2→0
1−
1 + 1−1n2
(n 1+ 1
un2=n)→2
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
a)un=en(ln(1+1n))ornln1 +1n=11nln1 +1n→1carln(1x+x)x−→−0→1. Par
suiteun→e.
2ln
b)un=enn→1carlnnn→0.
c)sinn11n=en1ln(sin1n)or1nlnsinn1∼n1lnn1→0doncsin1n1n→1.
d)nn−11+n=enln(1−n1+2)ornln1−n1+2∼ −2→ −2doncnn−+11n→e−2.
Exercice 3 :[énoncé]
a)|un|6n1−1→0doncun→0.
b)06un61n62nnn−+nn116avn1ec→n−01donn+c1un→0.→1.
c)nn−1+16unn+1n−1→1doncun
d)06un6e2e1×1× ∙ ∙ ∙ ×1×e→0doncun→0.
n
e)16un6n√3 =en1ln 3→1doncun→1.
Exercice 4 :[énoncé]
n
a)Sn>P1 =n→+∞
k=1
n
P1
b)Sn>k=1√n=√n→+∞.
n
n
c)06Sn6kPn211+=n2+1→0doncun→0.
=1
2n
n
d)06Sn6k=nP+1 (n)1+126(n+1)2→0.
n n
n
e)kP=1n2n+n6Sn6Pn2+1doncn+n16Sn6n2n2+1puisun→1.
k=1
n n
f)√nn2+n=kP=1√n12+n6Sn6kP=1√n12+1=√nn2+1par le théorème des
gendarmes :Sn→1.
g)Sn=n!−(n−1)! + (n−2)! +∙ ∙ ∙+ (−1)n. Par regroupement de termes.
Sinest pair alorsSn>n!−(n−1)!et sinest impairSn>n!−(n−1)!−1.
Puisquen!−(n−1)! = (n−1)(n−1)!→+∞, on aSn→+∞.
Exercice 5 :[énoncé]
nl→im+∞1−n1m= 1metml→im+∞nl→i+m∞1−1nm= 1.
ml→im+∞1−n1m= 0etnl→i+m∞ml→im+∞1−n1m= 0.
1−n1n=enln(1−1n)→e−1.
3
Exercice 6 :[énoncé]
a) Soitρ=`21+de sorte que` < ρ <1.
Commen√un→` < ρ, il existe un rangNau delà duqueln√un6ρdonc
0< un6ρn. On a alorsun→0.
b) Mme démarche mais par minoration.
c)un=n,un= 1etun= 1nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.
Exercice 7 :[énoncé]
a) Soitρ=`21+de sorte que` < ρ <1.
Commeun+1, il existe un rangNau delà duquel
un→` < ρ
un+16ρ
un
On a alors
doncun→0.
06un=unun−1∙ ∙ ∙uN+1uN6ρn−NuN→0
un−1un−2uN
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Corrections
On peut aussi raisonner en observant que la suite(un)est décroissante à partir
d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.
b) Mme démarche mais par minoration ou par croissance.
c)un=n,un= 1etun= 1nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.
Exercice 8 :[énoncé]
a) On a
pdx1
Zp+1x6Zpp+1dppx
=
car la fonction décroissantex7→1xest majorée par1sur[p p+ 1].
p
Par un argument semblable
Zpp−1dxx>Zpp−1dxp=p1
Pourn>1,
donne en sommant
Or
Znn++kk+1dxx6n+1k6Zn+kdx
n+k−1x
Zn2+n1+1dxx6Sn6Zn2ndxx
dx= ln 2n+ 1→ln 2
Zn+2n1+1x n+ 1
et
Z2ndx 2= l
n
nx
doncSn→ln 2.
b) On a
S20n1=1−1+213−+41∙ ∙ ∙2+n1−1−12n=11+12+∙ ∙ ∙+21n−21+241+∙ ∙ ∙2+1n
donc
0
S2=2Xnk1−Xnk1=2Xn1k=nXn1+k=Sn
n
k=1k=1k=n+1k=1
0
Par suiteS2n→ln 2. De plusS02n+1=S2n+2n11+→ln 2donc
S0n→ln 2
Exercice 9 :[énoncé]
En exploitant la formulesin 2x sin= 2xcosx
aP1 in 2a1cos2na−1∙a1
sin = s∙ ∙cos = = sina
2n n2n−2 2n
Sia= 0alorsPn= 1→1.
Sia6= 0alors, pournassez grand,sin(a2n)6= 0et
car2nsin2an∼2n2an=a.
sinasi
Pn2=nsa→ana
in2n
−1
1
+ + 1
n
Exercice 10 :[énoncé]
On a
1n−2
un= 1 + +Xnk!
n
k=2
Or pourk∈ {2 n−2},
nk!>n2!=n(n2−1)
donc
puisun→2.
06X
n−22nk!−16n((2nn−−)3)1→0
k=
Exercice 11 :[énoncé]
a)
n+pn2+2+!=nn++p22+nn++p11+!
d’où la relation.
b) Par récurrence surn∈N:
Pourn= 1:
S1=p111+!etp1−1 (1−(p+ 2) (p2+)2(p )+ 1) =p1+1
4
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.f