Sujet : Analyse, Séries numériques, Transformation d'Abel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Transformation d’Abel

Enoncés

Exercice 1[ 01041 ][correction]
Soient(an)une suite positive décroissante de limite nulle et(Sn)une suite bornée.
a) Montrer que la sérieP(an−an+1)Snest convergente.
b) En déduire que la sériePan(Sn−Sn−1)est convergente.
c) Etablir que pour toutx∈R2πZ, la sériePcos(nxn)est convergente.

Exercice 2[ 02352 ][correction]
Soitθ∈Rnon multiple de2π. On pose

Sn=Xncos(kθ)etun= cos(nθ)
n
k=0

a) Montrer que la suite(Sn)est bornée.
b) En observant quecos(nθ) =Sn−Sn−1, établir que la série de terme généralun
converge.
c) En exploitant l’inégalité|cosx|>cos2x, établir que la série de terme général
|un|diverge.

Exercice 3[ 01043 ][correction]
Pourn∈N?, on pose

netSnnXsik
Σn=Xsink= nk
k=1k=1

a) Montrer que(Σn)n>1est bornée.
b) En déduire que(Sn)n>1converge.

Exercice 4[ 01042 ][correction]
Soitznle terme général d’une série complexe convergente. Etablir quePznn
n>1
convergente.

Exercice 5[ 03684 ][correction]
Soitznle terme général d’une série complexe convergente. Etablir
k+X=∞nkzk=o1n

est

Exercice 6[ 03685 ][correction]
Soit(an)une suite complexe. On suppose que la sériePanndiverge.
Etablir que pour toutα∈]−∞1], la sériePanαndiverge aussi.

Exercice 7[ 01028 ][correction]
Soit(un)n>1une suite décroissante de réels strictement positifs.
a) On suppose quePunconverge. Montrer que la série de terme général
vn=n(un−un+1)converge et

+∞+∞
Xvn=Xun
n=1n=1
b) Réciproquement, on suppose que la série de terme généraln(un−un+1)
converge. Montrer que la série de terme généralunconverge si, et seulement si, la
suite(un)converge vers 0.
c) Donner un exemple de suite(un)pas vers 0, alors que la sériequi ne converge
de terme généraln(un−un+1)converge.

Exercice 8X MP[ 03673 ][correction]
Soit(un)n>1une suite décroissante de réels de limite nulle.
Montrer que les sériesPunetPn(un−un+1)ont mme nature et que leurs
sommes sont égales en cas de convergence.

Exercice 9CCP MP[ 02582 ][correction]
a) Montrer l’existence, pourθ∈]0 π[, d’un majorantMθde la valeur absolue de

n
Sn=Xcos(kθ)
k=1
b) Montrer quex7→x−√x1est décroissante sur[2+∞[.
c) En remarquant decos(nθ) =Sn−Sn−1étudier la convergence de la série de,
terme général
√nos(nθ)
u= c
nn−1
d) En utilisant|cos(kθ)|>cos2(kθ), étudier la convergence deP|un|.

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(an−an+1)Sn=O(an−an+1)et la série à termes positifsP
convergente.
b) En séparant la somme en deux et en décalant les indices

puis en regroupant

n n n+1
X(ak−ak+1)Sk=XakSk−XakSk−1
k=0k=0k=1

Corrections

an−an+1est

n n
X(ak−ak+1)Sk=a0S0+Xak(Sk−Sk−1)−an+1Sn
k=0k=1

avecan+1Sn→0.
Par suitePan(Sn−Sn−1)est convergente.
n
c) On applique le résultat précédent àan= 1netSn=Pcos(kx).(Sn)est bien
k=0
bornée car
Sn=RenXeikx!= cos(nx) sin((n+ 1)x2)
k=0sin(x2)

Exercice 2 :[énoncé]
a) Par sommation géométrique
Sn=RenkX=0eikθ!=Reei(ein+θ1)−θ1−1

donc

b) On a

Or

i(2
|Sn|6eeni+θ1)−θ1−16|eiθ−1|

N NSNX−1Sn1 =N
Xun=Xnn−
n=1n=1n=0n+n=X1n(Snn+ 1)−

SN0t
N+ 1→e

S0+NS+N1

n(nSn+1)=On12donc la suite des sommes partielles de la série de terme général
unconverge.
c) On a

|cosx|>cos2x2s2=ocx+ 1

donc
os(2nθ) 1
|un|>2cn2+n
Siθ [= 0π]alors|un|>1net doncP|un|diverge.
Siθ6 [= 0π]alors par ce qui précède la sériePcos(2nθ) uconverge et puis a
série de terme général1ndiverge, par opérations, la snranélédeirreteéqgem|uenl|
diverge.

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a
Σn=ImknX=1eik!=Imei11−−eeiin
donc
1−ein2

|Σn|6ei1−ei6|1−ei|

et la suite(Σn)n>1est effectivement bornée.
b) On a
Sn=nXΣk−kΣk−1=XnΣkk−kn=X−01k+Σk1
k=1k=1
donc
XnΣ Σ

Sn=k=1k(k+k1) +n+n1
OrnΣ+n1→0car(Σn)est bornée etk(k+k1)=Ok12est le terme général d’une
Σ
série absolument convergente. On peut donc conclure que(Sn)converge.

Exercice 4 :[énoncé]
Posons

n
Sn=Xzk
k=1

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

On a

N
Xznn=XNSn−Snn−1=NXnSn−NX=−10nS+n1
n=1n=1n=1n

Corrections

donc
n=XN1znn=NXSn) +NS+N1
n=1n(n+ 1
OrSN+N1→0car(SN)converge etn(nSn+1)=On12est le terme général d’une
série absolument convergente. On peut conclure que la sériePnznconverge.
n>1

Exercice 5 :[énoncé]
Posons

On azn=Rn−Rn+1et donc

puis

+∞
Rn=Xzk
k=n

+1Rk
XNkzk=XNRk−Rkk+1=NXRkk−NXk−1
k=n k=n k=n k=n+1

NRn NRkRN+1
Xzk=n−X−
k=nkk=n+1k(k−1)N

La suite(Rn)est donc bornée par un certainconverge vers 0, elle Mce qui assure
l’absolue convergence de la sériePk(Rkk−1)et l’on peut donc introduire

+∞zkR
Xk+∞kRk
=
k=n+1nn−k=nX+1k(−1)

Soitε >0. Il existe un rangN∈Ntel que

∀n>N|Rn|6ε

et alors pour toutn>N
k+X∞1k(εk−1)6k+=Xn∞+1k(Mk−1) =k+=Xn∞+1εk1−1−1=εn
k
=n+

puis

+X∞kzk2ε
6
k=nn

Exercice 6 :[énoncé]
Le casα= 1est entendu. Etudionsα∈]−∞1[.
Par l’absurde, supposons la convergence dePannαet introduisons

de sorte queSn−Sn−1=annα.
On peut écrire

n
Sn=Xak
kα
k=1

nXakk=nXSkk−1−Sαk−1=Xnk1S−kα−n−1α
k=1k=1k=1k=X0(k+Sk1)

puis
1
k=nX1kak=kXn=1Skk1−α−(k1+)11−α+(n+S1n)1−α
La suite(Sn)est bornée car convergente et
1
kXn=1k11−α−(k+ 1)1−α= 1−(n+1)11→1
−α

il y a donc absolue convergence de la série
XSnn11−α−(n11+)1−α
et l’on en déduit la convergence dePnan.
C’est absurde.

Exercice 7 :[énoncé]
a) On peut écrire

n n n+1n
Xvk=Xkuk−X(k−1)uk=Xuk−nun+1(*)
k=1k=1k=2k=1

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Montrons que la convergence dePunentraîne quenun→0.
PosonsSnles sommes partielles dePun.
Par la décroissance deun, on a06nu2n6S2n−Sn.
Par suitenu2n→0et aussi2nu2n→0.
De façon semblable, on obtientnu2n+1→0puis(2n+ 1)u2n+1→0.
Ainsinun→0et donc
n+∞
Xvnk−→−+−−∞→Xuk
k=1k=1
b) Supposons que la série de terme généralvnconverge.
Si la série de terme généralunconverge alorsun→0.
Inversement, supposons queun→0. On peut écrire

+∞+∞
un=X(uk−uk+1)6Xvkk
k=n k=n

On a alors
+∞+∞
06nun6Xvknk6Xvk
k=n k=n
Puisque la série desvnconverge,

+∞
Xvk→0puisnun→0
k=n
La relation (*) entraîne alors la convergence dePun.
c)un= 1convient, où si l’on veut une suite non constante,un= 1 +n12

Exercice 8 :[énoncé]
Posonsvn=n(un−un+1). On peut écrire

n n n+1n
Xvk=Xkuk−X(k−1)uk=Xuk&