Sujet : Analyse, Séries numériques, Application des séries à l'étude de suites

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Application des séries à l’étude de suites

Exercice 1[ 01070 ][correction]
Calculer la limite de
1
1+12+∙ ∙ ∙nn1++1n1+2+∙ ∙ ∙+n12
un= +−

Exercice 2[ 01071 ][correction]
Soita >0.
a) Déterminer la limite de la suite de terme général

un=a(a+ 1)  (a+n−1)
n!

b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Exercice 3[ 01072 ][correction]
Pour toutn∈N, soit
2n)!
un2(=(nn!)2

a) Déterminer un équivalent de

lnun+1−lnun

Enoncés

En déduire queun→0.
b) En s’inspirant de ce qui précède, établir que√nun→C >0(on ne cherchera
pas expliciter la valeur deC).

Exercice 4[ 01073 ][correction]
Pour toutn∈N, on pose
(2n)!
un2(=nn!)2
a) Déterminer un équivalent delnun+1−lnun. En déduire queun→0.
b) Montrer quenun→+∞. En déduire la nature de la sériePun.
c) On posevn=nu+n1. En observant et en sommant les égalités
n
(2k+ 4)vk+1= (2k+ 1)vkcalculerTn=Pvken fonction denetvn+1. En
k=0
déduire la valeur de
+∞
un
n=X0n+ 1

Exercice 5[ 01074 ][correction]
n!enmite non nulle.
Montrer queun=nn+12a une li

Exercice 6[ 01075 ][correction]
Soit
k
Pn=kYn=21 + (√−1k)
Montrer qu’il existeλ∈Rtel que
λ
Pn∼e√n

Exercice 7[ 01076 ][correction]
Soit(un)suite complexe terme général d’une suite absolument convergente.une
n
a) Montrer quePn=Q(1 +|uk|)converge
k=1
n
b) Montrer queΠn=Q(1 +uk)converge en exploitant le critère de Cauchy.
k=1

Exercice 8[ 01077 ][correction]
Etudier la limite de
uZ10(1−uu)n−1du+ lnn
n=

1

Exercice 9[ 01078 ][correction]
Soient0< a < bet(un)une suite strictement positive telle que pour toutn∈N,
un+1n+a
=
unn+b
a) Montrer queun→0. On pourra considérerlnun.
b) Soientα∈Retvn=nαun. En étudiant(vn), montrer qu’il existeA >0tel que
A
un∼nb−a
c) On supposeb−a >1. En écrivant

calculer

(n+ 1)un+1−nun=aun+ (1−b)un+1

+∞
Xun
n=0

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Exercice 10[ 01079 ][correction]
Pourα∈RZ−?, on considère(un)n>1définie par

u1= 1etun+1= (1 +αn)un

a) Pour quel(s)β∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général
vn= ln(n+n1β)unβun+1
?

b) En déduire qu’il existeA∈R+?pour lequelun∼Anα.

Exercice 11[ 01080 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs telle que
un+1
= 1 +α+On12, avecα∈R
unn

a) Pour quel(s)β∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général

vn= ln (n+n1β)uβun+1?
n

b) En déduire qu’il existeA∈R+?pour lequel

un∼Anα

Exercice 12Centrale MP[ 02429 ][correction]
On fixex∈R+?. Pourn∈N?, on pose

n!nnYln1 +kx
un=
x
k=1

a) Etudier la suite de terme généralln(un+1)−ln(un).
En déduire que la suite(un)n>1converge et préciser sa limite.
b) Etablir l’existence deα∈Rtel que la série de terme général :
ln(un+1)−ln(un)−αln 11 +n
converge.
c) Etablir l’existence deA∈R?tel queun∼Anα.
d) Etudier la convergence de la série de terme généralun.

Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02784 ][correction]
Soitu0∈]02π[puis
∀n∈N un+1= sin (un2)
a) Montrer que(un)tend vers 0.
b) Montrer quelim(2nun) =Apour un certainA >0.
c) Trouver un équivalent simple de(un−A2−n).

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02809 ][correction]
On pose
1 1 1
an=n+ 1 +n ++ 2∙ ∙ ∙+3n
a) Montrer que la suite(an)converge et trouver sa limiteλ.
b) Trouver un équivalent simple dean−λ.

Exercice 15X MP[ 03047 ][correction]
Soit(un)une suite complexe telle que pour toutp∈N?,upn−un
affirmer que la suite(un)converge ?

→0. Peut-on

2

Exercice 16Centrale MP[ 02418 ][correction]
Former un développement asymptotique à trois termes de la suite(un)définie par

u1= 1et∀n∈N?un+1= (n+unn−1)1n
,

Exercice 17X MP[ 02949 ][correction]
Etudier la limite quandn→+∞de
kXn=1nkn

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posons
1
Hn+=12+∙ ∙ ∙+ 1 = lnn+γ+o(1)
n
On observe

un= 2Hn−Hn2= 2(lnn+γ+o(1))−ln(n2)−γ+o(1)→γ

Exercice 2 :[énoncé]
a)un>0et

lnun=Xnln1 +ka−1

k=1
Sia= 1alorsun= 1→1,.

Sia >1alors
−1a−1
ln1 +kak
∼
donclnun→+∞puisun→+∞.
Sia <1alorslnun→ −∞et doncun→0.
b) Sia>1il y a divergence grossière de la série.
Sia∈]01[alors
lnunn (1 =
Xa−k a−1)
∼lnn
k=1
et donc
ln(kun) = lnk+ (a−1) lnk+o(lnk)∼alnk→+∞
Ainsikun→+∞et à partir d’un certain rangun>1k.
La série de terme généraluns’avère divergente

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a
lnun+1−lnun= lnuun+n122nl=nn=l+21+1−2n2+11
n∼ −
2n
La sériePlnun+1−lnuntend vers−∞donclnun→ −∞puisun→0.
b) Posonsvn=√nun.

Corrections

lnvn+1−lnvnnl=211 + 1n+ lnun+1−lnun=On12
La sériePlnvn+1−lnvnconverge et donc la suitelnvnaussi.
En posant`sa limite, on obtient√nun→CavecC= e`>0.
Notons qu’évidemment, on aurait aussi pu résoudre cet exercice à l’aide de la
formule de Stirling.

Exercice 4 :[énoncé]
a)lnun+1−lnun= lnuunn+1= ln22nn1+2+= ln1−2n2+1∼ −21n. La série
Plnun+1−lnuntend vers−∞donclnun→ −∞puisun→0.
b)ln(n+ 1)un+1−lnnun= ln2n2n+1∼21n. La sériePln(n+ 1)un+1−lnnun
tend vers+∞donclnnun→+∞puisnun→+∞. A partir d’un certain rang
nun>1doncPundiverge.
c)(2k+ 4)vk+1= 2uk+1=2kk1+1+uk= (2k+ 1)vken sommant pourk∈ {0     n}
et en simplifiant, on obtient :Tn= 2−(2n+ 6)vn+1doncTn→2.

3

Exercice 5 :[énoncé]
Après calculslnun+1−lnun=O(1n2)donclnunconverge et on peut conclure.

Exercice 6 :[énoncé]
ln(Pn) =nkP=2ln1 +(√−1k)kavec
ln (1 +√−1k)k= (√−1k)k−12k+Ok1√k

donclnPn=−21lnn+λ+o(1)puisPeλ
n∼√n.

Exercice 7 :[énoncé]
n n+∞
a)(Pn)est croissante etlnPn=Pln(1 +|uk|)6P|uk|6P|uk|<+∞donc
k=1k=1k=1
(Pn)est majorée.
Par suite(Pn)convergente.
m
b)|Πm−Πn|=|Πn|Q(1 +uk)−1or|Πn|6Pnet lorsqu’on développe
k=n+1
m
l’expressionQ(1 +uk)−1on obtient une expression polynomiale en les
k=n+1

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un+1     umà coefficients positifs qui est inférieure en module à la mme
expression obtenue en les|un+1|    |um|. Ainsi :
m m
Q(1 +uk)−16Q(1 +|uk|)−1.
k=n+1k=n+1
Ainsi|Πm−Πn|6|Pm−Pn|et donc(Πn)est de Cauchy.

Exercice 8 :[énoncé]

puis

doncun→ −γ

−uu)n−1du=−Z10vvn−−1=101n−X1
Z01(1−Zk=0vkdv

Z1(1−uu)n−d1u=−kXn11k=−lnn−γ+o(1)
0
=

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a)
a−b
lnun+1−lnun= lnᙩ