Sujet : Analyse, Séries entières, Etude de la somme d'une série entière

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Etude de la somme d’une série entière

Exercice 1[ 00980 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR >0et de sommef.
+∞
a) ExprimerPa2nz2nen fonction defpour|z|< R.
n=0
+∞
b) Mme question avecPa3nz3n.
n=0

Exercice 2[ 00981 ][correction]
+∞
Soitf(x) =Panxnla somme d’une série entière de rayon de convergence 1.
n=0
On pose pour toutn∈N

n+∞
Sn=Xaketg(x) =XSnxn
k=0n=0

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissantg.
b) Pour toutx∈]−11[, exprimerg(x)en fonction def(x).

Enoncés

Exercice 3[ 00982 ][correction]
n
Soit(an)une suite de réels strictement positifs. On poseSn=Paket on suppose
k=0

Sn→+∞etanSn→0
Déterminer le rayon de convergence des séries entièresPanxnetPSnxnpuis
n>0n>0
former une relation entre leur somme.

Exercice 4[ 00983 ][correction]
Soit(an)une suite non nulle etTpériodique (avecT∈N?).
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanxn.
n>0
nT−1 +∞
b) SimplifierPakxk. En déduire quePanxnest, pour toutx∈]−11[, une
k=0n=0
fraction rationnelle enx.

Exercice 5[ 00984 ][correction]
+∞
SoitS(x) =Panxnde rayon de convergenceR >0.
n=0
On suppose qu’il existeα >0tel que sur[0 α]on aitS(x) = 0.
Montrer queS= 0.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02844 ][correction]
a) Soit(an)une suite complexe. On suppose quePanxna pour rayon de
convergenceR. Déterminer les rayons de convergence de
anlnn)xnetanX
X(Xkn=1k1!xn

+∞
b) Donner un équivalent simple dePlnn xnquandx→1−.
n=1

1

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02854 ][correction]
∞
Soit une série entièrePanznde rayon de convergenceR >0et de sommef(z).
n=0
a) Montrer que pour0< r < R,
2
nX∞=0|an|r2n=12πZ20πf(reiθ)2dθ
b) Que dire defsi|f| ?admet un maximum local en 0
c) On suppose maintenant queR= +∞et qu’il existeP∈RN[X]tel que
|f(z)|6P(|z|)pour toutzcomplexe. Montrer quef∈CN[X].

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02856 ][correction]
SoientB={z∈C|z|61}etfune fonction continue deBdansCdont la
restriction àB◦série entière. Montrer qu’il existe une suiteest somme d’une
(Pk)k>0de polynôme convergeant uniformément versfsurB.

Exercice 9[ 03067 ][correction]
Soit(un)une suite réelle bornée et pourn∈N

n
Sn=Xuk
k=0

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Enoncés

a) Quels sont les rayons de convergence des séries entières
Xun!nxnetXnS!nxn?
b) On noteuetSleurs sommes respectives. Former une relation entreS S0etu0.
c) On suppose que la suite(Sn)converge vers un réel`. Déterminer
limS
x→+∞e−x(x)
d) Dans cette question, on choisitun= (−1)n. Déterminer
lim e−xS
x→+∞(x)

Exercice 10Centrale PC[ 03201 ][correction]
Soit
n+=X∞1sin√1n
f:x7→xn
a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf.
b) Etudier la convergence en−Ret enR.
c) Déterminer la limite def(x)quandx→1−.
d) Montrer que quandx→1−

(1−x)f(x)→0

Exercice 11[ 03653 ][correction]
Pourxréel, on pose
+∞
f(x) =Xx√nn
n=1
a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf.
b) Etudier la convergence de la série entière en 1 et en−1.
c) Etablir la continuité defen−1.
d) Déterminer la limite defen 1.

Exercice 12[ 03663 ][correction]
On pose

=+∞ets(z) =+X∞(−1)n!z2n+1
∀z∈C c(z)nX=0((−2n!)1)nz2nn=0(2n+ 1)
Montrer que
∀z∈C c(z)2+s(z)2= 1

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 03747 ][correction]
a) Donner l’ensemble de définition de

f(x) =n=+X∞1ln1 +n1xn
b) Calculerf(−1)etR10(−1)Ex(1x)dxoùEest la fonction partie entière.
c) Donner un équivalent defenx= 1

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
+∞+∞
a)12(f(z) +f(−z)) =21Pan(zn+ (−1)nzn) =Pa2pz2p.
n=0p=0
+∞+∞
b)13f(z) +f(jz) +f(j2z)=31Pan1 +jn+j2nzn=Pa3pz3p.
n=0p=0

Exercice 2 :[énoncé]
a) NotonsRle rayon de convergence deg.
Pourx∈]0 R[,PSnxnest absolument convergente donc la série de terme
n>0
général
anxn=Snxn−xSn−1xn−1
l’est aussi et doncx61. Par suiteR61.
Pourx∈]01[,
n
|Snxn|6X|ak|xk
 
k=0
orPakxkest absolument convergente donc(Snxn)est bornée.
k>0
Par suitex6Ret donc16R. FinalementR= 1.
b)

Corrections

N+1N+1N+1N
∀x∈]−11[,Xanxn=XSnxn−xXSn−1xn−1=SN+1xN+1+(1−x)XSnxn
n=0n=0n=1n=0

A la limite quandN→+∞, on obtientf(x) = (1−x)g(x)et donc

g(x) = 1f(−x)x

Exercice 3 :[énoncé]
PuisqueSn→+∞, on aRa61.
Commean6Sn, on a aussiRa>Rs.
EnfinSnSn+1= 1−an+1Sn+1→1permet par la règle de d’Alembert d’obtenir
Rs1.
=
On conclutRa=Rs= 1.

Pour|x|<1,

+∞+∞n+∞anxn+X∞1+∞
XSnxn=X Xakxkxn−kXxn=1−xXanxn
=
n=0n=0k=0n=0n=0n=0

Exercice 4 :[énoncé]
a)an=O(1)doncR>1.an6 →0doncR61et ainsiR= 1.
b) En réorganisant les termes sommés
nT−1
Xakxk=TX−1nX−1apT+kxpT+k=TX−1akxk11−−xxTnT
k=0k=0p=0k=0

et donc

+∞1T−1
Xanxn1=−xTXakxk
n=0k=0

Exercice 5 :[énoncé]
On aaS(n)(0)
n=n!= 0compte tenu de l’hypothèse. On peut conclure queS= 0.

3

Exercice 6 :[énoncé]
a) On sait quePanxnetPnanxnont le mme rayon de convergenceR. Puisque
an=o(anlnn)etanlnn=o(nan)on peut affirmer queP(anlnn)xna aussi
aP
pour rayon de convergenceR. De plusakn=nP1k1∼anlnndoncP kn=n11kxn
est encore de rayon de convergenceR.
b) Notons quePlnn xna pour rayon de convergenceR= 1. On sait
n n
P1k= lnn+γ+o(1)donclnn−Pk1est borné par un certainM.
k=1k=1
Par suite
+∞+∞n
Xlnn xn−X Xk1xn6n+=X∞1M xn=1M−xx=O11−x
n=1n=1k=1
quandx→1−.
Or par produit de Cauchy

+∞n1n
X Xk x=−11ln(−−xx)
n=1k=1

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donc

+∞ln(1−x)
Xlnn xn∼ −
n=1x→1−1−x

Exercice 7 :[énoncé]
a) Pour0< r < R, il y a absolument convergence dePanrn. On a

+∞+∞
f(reiθ)2=XanrneinθXanrne−inθ
n=0n=0

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

Corrections

+∞n
f(reiθ)2=X Xakan−kei(2k−n)θrn
n=0k=0
PuisqueP|anrn|etP|anrn|sont absolument convergentes, par produit de
n
Cauchy, on peut affirmer queP P|ak| |an−k|rnconverge. On en déduit que la
k=0
n
série des fonctions continuesθ7→Pakan−kei(2k−n)θrnest normalement
k=0
convergente et donc on peut permuter somme et intégration :
Z20πf(reiθ)2dθ=n=+X∞0Z20πkXn=0akan−kei(2k−n)θrndθ
OrR20πeipθdθ= 0pour toutp∈Z?donc, après simplification des termes nuls,
21πZ2π2dθ=m+X=∞0|am|2r2m
f(reiθ)
0

b) Pour0< r < Rsuffisamment petit
n+=X∞1|an|2r2n=n=X∞0|an|r2n− |a0|212=πZ2πf(reiθ)2− |f(0)|2dθ
0

Par intégration, d’une fonction négative, on obtient+P∞|an|2r2n60. Or il s’agit
n=1
d’une somme de termes positifs, ils sont donc tous nuls et on en déduit

∀n∈N? an= 0

4

La fonctionfest alors constante.