Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Séries de Fourier et équations différentielles
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Séries de Fourier et équations différentielles
Exercice 1[ 00967 ][correction]
Déterminer les solutions2πpériodiques de l’équation différentielle
y00+ eity= 0
Exercice 2CCP MP[ 03331 ][correction]
Soitα∈CiZetfcontinue surRà valeurs dansCet2π-périodique.
Soitysolution de l’équation
y0+αy=f
a) Montrer queyest de la forme
y(x) = e−αxy(0) +Z0xf(t)eαtdt
b) Montrer queyest2π-périodique si, et seulement si,y(0) =y(2π)(on pourra
utiliser quez(x) =y(x+ 2π)est solution de l’équation différentielle).
c) En déduire qu’il existe une unique fonctionφ,2π-périodique solution de
l’équation différentielle.
d) Montrer queφadmet un développement en série de Fourier et l’exprimer en
fonction des coefficients complexes def.
Exercice 3[ 03327 ][correction]
Soitf:R→C2π-périodique dérivable telle qu’il existeλ∈Rvérifiant
∀t∈R f0(t) =f(t+λ)(*)
a) Montrer
∀n∈Z(in−einλ)cn(f) = 0
b) Pour quel(s)λ∈Rexiste-t-il des fonctions2π-périodiques, autres que la
fonction nulle, vérifiant (*) ?
Exercice 4X MP[ 03439 ][correction]
On considère la fonctionf:R→C2π-périodique donnée par
f(x) = eixix−1sur]−π0[∪]0 π[,f(0) = 1etf(π) = 0
Développerfen série de Fourier.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Une telle fonctionfest nécessairement de classeC∞et donc égale à la somme de
sa série de Fourier. On peut donc écrire
+∞
f(t) =Xcneint
n=−∞
Puisquecn(f0) =incn(f), la satisfaction de l’équation différentielle donne
n2cn(f) =cn−1(f)
On en déduitcn= 0pour toutn <0etcn=c0(n!)2pour toutn∈N.
Inversement, les coefficients proposés définissent une fonction qu’on vérifie tre de
classeC2(par un argument de convergence normale) et par calcul on vérifie que
celle-ci est solution de l’équation différentielle.
Exercice 2 :[énoncé]
a) On vérifie que
˜−αxy(0) +Z0xf(t)eαtdt
y:x7→e
est solution de l’équation différentielle et vérifiey˜(0) =y(0)donc par le théorème
de Cauchy,y˜ =y.
b) Siyest2π-périodique alorsy(0) =y(2π).
Inversement, siy(0) =y(2π)alorsz:x7→y(x+ 2π)est solution de l’équation
différentielle et vérifiez(0) =y(0)doncz=y.
Par suiteyest2π-périodique si, et seulement si,y(0) =y(2π)i.e.
π
y(0)(e2πα−1) =Z2f(t)eαtdt
0
avece2πα−16= 0.
c) Par suite, il existe une unique solutionφ2π-périodique à l’équation
différentielle, solution déterminée par
φ(0) = e2πα1−1Z02πf(t)eαtdt
(avece2πα6= 1carα ∈iZ).
d) Cette solution est de classeC1donc développable en série de Fourier.
avec
et
donc
+∞
φ(x) =Xcneinx
n=−∞
cn=cn(φ 1) =α cn(f−φ0) = 1α(cn(f)−cn(φ0))
cn(φ0) =incn(φ)
Exercice 3 :[énoncé]
a) On a par intégration par parties
c cn(f)
n=
in+α
cn(f0) =incn(f)
et
cn(f0)1=2Z2πf(t+λ)e−intdt=12πeinλZ2πf(t+λ)e−in(t+λ)dt= einλcn(f)
π
On en déduit la relation proposée.
b) Si l’égalité
in= einλ
est vérifiée alors nécessairement|n|= 1et alors
eiλ=i
Si la conditioneiλ=in’est pas vérifiée alors la propriété
∀n∈Z(in−einλ)cn(f) = 0
2
entraîne
∀n∈Z cn(f) = 0
et doncfformule de Parseval ou parce queest la fonction nulle (en vertu de la f
est de classeC1donc développable en série de Fourier. . . )
Inversement, sieiλ=ialors les fonctions
f(t) =αeit+βe−it
vérifient la relation (*) (et ce sont les seules) et parmi celles-ci figurent des
fonctions non nulles.
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On en déduit qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe des
fonctions2π-périodiques non nulles vérifiant (*) est queeiλ=ii.e.
λ π+ 2πZ
∈2
Corrections
Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionfest de classeC1par morceaux et régularisée donc développable en
série de Fourier.
Puisque sur(eix−1)f(x) =ix, on a sur]−π π[
(eix−1)f0(x) +ieixf(x) =i
donc
cn−1(f0)−cn(f0) +icn−1(f) =iδ0n
Par intégration par parties (avec icif(π−)6=f(−π+))
ce qui donne
n+1
−
cn(f0) =i()1+2incn(f)
(−1)n+n(cn−1(f)−cn(f)) =δ0n
Pourn >0, on obtient
(−1)nc0(f) +Xn(−1)k
cn(f) =cn−1(f) +n=k
k=1
Orcn(f)→0doncc0(f 2) = lnpuis, pourn>0,
cn(f) =
k
De façon analogue, pourn >0
+X∞(−1k)k−1
=n+1
+−1
c−n(f) =X∞(−1k)k
k=n
3
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