Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Applications des séries de Fourier

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Applications des séries de Fourier

Enoncés

Exercice 1[ 00969 ][correction]
Soientf g:R→C2π-périodiques, continues et paires. Pour toutx∈R, on pose

Xan
h(x) =a0(f2)a0(g)++∞(f)an(g) cos(nx)
n=1

Justifier quehexiste, est continue et calculer ses coefficients de Fourier réels.
Etablir que
khk∞62kfk∞kgk∞

Exercice 2[ 00970 ][correction]
Pourθ∈]0 π[calculer de deux manières la partie réelle de,
Z01n+=X∞0tnei(n+1)θ!dt

afin d’en déduire la valeur de

+∞snθ
Xcon
n=1

Exercice 3X MP[ 00418 ][correction]
αdésigne un réel de l’intervalle]0 π[etfla fonction2πpériodique définie sur
]−π π]par
f(x) =10nisis|oxn|6α

a) Etudier la série de Fourier defainsi que sa convergence.
b) Que vaut la somme de cette série pourx= 0, pourx=α?
c) Calculer
+∞sin2(nα)
Xn2
n=1
d) Justifier et calculer
Z+∞2

0sitn2tdt

Exercice 4[ 03099 ][correction]
a) On notegla fonction2π-périodique définie par

g(t) =π−tsur[02π[

1

Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques deg.
b) Soitf:R→Rune fonction continue,C1par morceaux et2π-périodique.
Montrer que
π
n+X=∞1bnn(f2)=1πZ2(π−t)f(t) dt
0
c) Etablir que l’identité est encore vraie pourfseulement continue par morceaux.

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02886 ][correction]
Soitf∈ C1([0 π]R)telle que
π
f(0) =f(π) = 0etZ0f02= 1
Montrer qu’il existe une suite réelle(an)n>1telle que
+∞2et∀x∈[0 π] f(x) =+X∞annsin(nx
Xa2n=π)
n=1n=1

Exercice 6Centrale MP[ 03250 ][correction]
Soitfla somme surCde la série entière
Xanzn
n!
n>0

supposée de rayon de convergenceR= +∞.
Pourr>0, on pose
M(r) = sup|f(z)|
|z|=r

et on suppose l’existence de
lnM(r)
`= lim
r→+∞r
a) On suppose que` >1. Montrer la divergence de la sériePan.
b) En utilisant les coefficients de Fourier de l’applicationt7→f(reit), montrer
|an|6M(r)rnn!
c) En déduire que, si` <1, la sériePanconverge.

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Exercice 7Centrale MP[ 03257 ][correction]
fdésigne une fonction réelle continue et2πpériodique surR.
a) Démontrer que la suite de fonction(Fn)n>1définie par
1nZ0n
Fn(x) =f(x+t)f(t) dt

Enoncés

converge vers une fonctionF.
On précisera la définition deFen fonction defainsi que le mode de convergence
de la suite(Fn)n>1
b) Démontrer
kFk∞6F(0)

Exercice 8[ 03493 ][correction]
Démontrer que pour toutx∈R

|sin(x)|= 8+X∞4sinn22(n−x)1
π
n=1

Exercice 9[ 03494 ][correction]
Soitfla fonction2π-périodique définie sur[02π[par

−x
f(x) =π2

a) Calculer les coefficients de Fourier de la fonctiongdéfinie par

b) En déduire la valeur de

g(x) =f(x+ 1)−f(x−1)

n=+X∞1sinnn2

Exercice 10[ 03496 ][correction]
Soitf:R→Cde classeC∞et2π-périodique.
On suppose qu’il existeM∈Rvérifiant

Déterminerf.

∀p∈N∀t∈Rf(p)(t)6M

2

Exercice 11[ 03665 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction de classeC2nulle en dehors de[−A A](avecA >0).
On définit la transformée de Fourier defpar
+∞
∀x∈R f(ˆx) =Zf(x)e−ixtdx
−∞
a) Montrer que la fonctionfˆest continue et7→2ˆbornée surR.
quet t f(t)est
b) SoitT >2A. Montrer
+∞
∀x∈[−T 2 T 2] f(x) =T1X∞fˆ2Tπke2ikπxT
k=−

c) En déduire la formule d’inversion de Fourier
∀x∈R f(x21=)πZ−+∞∞fˆ(t)eixtdt

Exercice 12[ 03666 ][correction]
On noteC2π?l’espace vectoriel des fonctions2π-périodiques et continues deR
dansC.
a) Soientfetgdeux éléments deC2π. Montrer que pour toutx∈R
+∞
n=−∞f)cn(g)eZ20πf(x−t)g(t) dt
Xcn(inx=12π
On étudie l’équation différentielle

(E) :y−y00=h

avechune fonction élément deC2π.
b) Montrer que l’équation(E)possède au plus une solution2π-périodique.
c) Déterminer la solution2π-périodique de l’équation
y−y00=epavecep:x7→eipx
d) On cherche à déterminer une fonctiong∈ C2πtelle que, pour toute fonction
h:R→Cde classeC12π-périodique, la fonctionfdéfinie par
∀x∈R f(x=12)πZ20πg(x−t)h(t) dt
soit solution de l’équation différentielle(E).
En supposant l’existence degcalculer ses coefficients de Fourier à l’aide de la,
question précédente.
Conclure alors en utilisant le calcul initial.

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Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02888 ][correction]
SoitEl’espace desf∈ C0(RC) 2π-périodiques. On normeEen posant, sif∈E:
kfk= 1π|f|
2πZ02
Sif∈E, soit
Z+∞

G(f) :x∈R7→e−tf(x+t) dt∈C
0
a) Montrer queGest un endomorphisme continu deE.
b) L’endomorphismeGest-il inversible ?
c) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deG.

Exercice 14Centrale MP[ 03611 ][correction]
On noteEl’espace vectoriel des fonctions continues sur[01[, à valeurs réelles et
de carré intégrable sur[01[.
On notekfk2la norme définie par
kfk2=Z01f(t)2dt12
a) Pourn∈Netf∈E, justifier quet7→tnf(t)est intégrable sur[01[.
On note alors
Z1) dt
an(f) =tnf(t
0
b) SoitP∈R[X], montrer que
Z1t) dt+iZ0πP(eiθ)eiθdθ= 0
P(
−1
En déduire que
Z1P(t)2dt61ZπP(eiθ)2dθ

02−π
c) Vérifier que, sif∈E, alors
n n
Xak(Xak(
k=0f)2=Z01k=0f)tk!f(t) dt
En déduire que la sériePak(f)2converge et que l’on a

+∞
Xak(f)26πkfk2
2
k=0

d) On pose, pourf∈E,

( ) =k+X=∞0a2!12
N fk(f)

3

Montrer queNest une norme surE.
e) Montrer queNn’est pas équivalente à la normekk2. On pourra considérer les
fonctionsfpdéfinies, pourp>1par
fp(x) =1√p√xsisixx∈∈]0[11p1p][

Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 15[ 02626 ][correction]
a) Etablir
+nt
Z0∞etsi−1 dt=n+X=∞1n2+11
b) Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction2π-périodique définie par

f(t) =chtpourt∈[−π π]

sachant
Z0πchtcos(nt) dt= (−1)nns2h+π1
c) En déduire la valeur de l’intégrale du a).

Exercice 16Centrale PC[ 02542 ][correction]
Soit l’espace vectoriel complexe

E={f∈ C(R E)∀x∈R f(x+ 2π) =f(x)}

muni de la norme définie en posant pourf∈E:

kfk= sup{|f(u)|u∈R}

Sif∈E, on poseG(f) =gla fonction deRversCdéfinie par
Z+∞
g(x e) =−tf(x+t) dt
0

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a) Montrer queGdéfinit un endomorphisme deE.
b) Déterminer une constanteC >0telle que pour toutf∈E

kG(f)k6Ckfk

Interpréter le résultat.
c) Montrer que sig=G(f)avecf∈Ealorsgest de classeC1surRet vérifie
l’équation

f=g−g0

d) En déduire une relation entre les coefficients de Fouriercn(g)etcn(f)pour
toutn∈Z, préciser la série de Fourier degainsi que son mode de convergence.
e) L’applicationGest-elle i