Sujet : Analyse, Nombres réels, Borne supérieure, borne inférieure
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Borne supérieure, borne inférieure
Exercice 1[ 02107 ][correction]
Soit
A=(−1)n+n11+n∈N
Montrer queAest bornée, déterminerinfAetsupA.
Exercice 2[ 02109 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que
∀(a b)∈A×B a6b
Montrer quesupAetinfBexistent et quesupA6infB.
Exercice 3[ 02108 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides et bornées deRtelles queA⊂B.
ComparerinfAsupAinfBetsupB.
Exercice 4[ 02110 ][correction]
SoientAetBdeux parties deRnon vides et majorées.
Montrer quesupAsupBetsup(A∪B)existent et
sup(A∪B) = max(supAsupB)
Exercice 5[ 02111 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR.
On forme
A+B={a+b(a b)∈A×B}
Montrer queA+Best majorée et
sup(A+B) = supA+ supB
Exercice 6[ 02113 ][correction]
Pourn∈N, on posefn(x) =xn(1−x). Déterminerl→im+supfn(x)
n∞x∈[01]
Enoncés
Exercice 7[ 00225 ][correction]
SoitAune partie non vide et minorée deR. On pose
m= infAetB=A∩]−∞ m+ 1]
Déterminer la borne inférieure deB.
Exercice 8[ 02347 ][correction]
Soitf:R2→R. Etablir
Exercice 9
Déterminer
xsu∈Rpyi∈nfRf(x y)6yi∈nfRxsu∈Rpf(x y)
[ 02114 ][correction]
inf(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙ ∙+x1nx1 xn>0
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
∀n∈N−16(−1)n+n11+62doncAest bornée.
Aest une partie deRnon vide et bornée doncinfAetsupAexistent.
n 2 30 1
(−1)n+n+112−1 +121 +31−1 +41 .
2est plus grand élément deAet doncsupA= maxA= 2.
Aest clairement minorée par−1et(−1)2p+1+2p21+→ −1donc il existe une suite
d’éléments deAqui converge vers−1doncinfA=−1.
Exercice 2 :[énoncé]
Soitb∈B. Puisque
∀a∈A,a6b
la partieAest majorée parb.
Aest une partie deRnon vide et majorée parbdoncsupAexiste etsupA6b.
Best une partie deRnon vide et minorée parsupAdoncinfBexiste et
supA6infB.
Exercice 3 :[énoncé]
AetBsont des parties non vides et bornées deRdonc les bornes sup et inf
considérées existent.
Pour touta∈A, on aa∈Bdonca6supB.supBmajoreAdoncsupA6supB.
Pour touta∈A, on aa∈BdoncinfB6a.infBminoreAdoncinfB6infA.
Enfin, puisqueA6=∅,infA6supA.
Exercice 4 :[énoncé]
A B A∪Bsont des parties deRnon vides et majorées donc
supAsupBsup(A∪B)existent dansR.
Pour toutx∈A∪Bon ax6max(supAsupB)donc
sup(A∪B)6max(supAsupB)
PuisqueA B⊂A∪Bon asupAsupB6sup(A∪B)donc
puis l’égalité.
max(supAsupB)6sup(A∪B)
2
Exercice 5 :[énoncé]
AetBsont deux parties non vides et majorées deRdoncsupAetsupBexistent.
Pour toutx∈A+B, on peut écrirex=a+baveca∈Aetb∈B.
On ax=a+b6supA+ supB, doncA+Best majorée parsupA+ supB
A+Best une partie deRnon vide et majorée doncsupA+Bexiste et
supA+B6supA+ supB
Pour touta∈Aet toutb∈B,a= (a+b)−b6sup(A+B)−bdoncAest
majorée parsup(A+B)−bd’où
Par suite
supA6sup(A+B)−b
b6sup(A+B)−supA
etBest donc majoré parsup(A+B)−supAet par suite
Finalement
puis l’égalité.
supB6sup(A+B)−supA
supA+ supB6supA+B
Exercice 6 :[énoncé]
fnest dérivable etf0n(x) =nxn−1(1−x)−xn=nxn−1−(n+ 1)xn.
fn(xx0)0%xMnn&10avecxn=n+n1∈[01]et
Mn=xs∈[u0p1]fn(x) =1−nn1
n1+11+→0.
Exercice 7 :[énoncé]
Puisquem+ 1ne minore pasA, la partieBest non vide.
De plusB⊂Adonc la borne inférieure deBexiste et
infA6infB
Soitx∈A, six6m+ 1alorsx∈Bet doncx>infB.
Six > m+ 1alors à nouveaux>infB.
AinsiinfBminoreAet donc
infA>infB
Finalement
infA= infB
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Exercice 8 :[énoncé]
Soity0∈R. On a pour toutx∈R
donc
puis
Exercice 9 :[énoncé]
On exploite
pour obtenir
nf y)6f(x
yi∈Rf(x y0)
sxu∈Rpyi∈nfRf(x y)6xsu∈Rpf(x y0)
f sup0)
xsu∈Rpyi∈nfRf(x y)6yi0n∈Rx∈Rf(x y
x
xi+j
xjxi
xi2+x2j
=>2
xixj
(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙ ∙+x1n
Puisque que pourx1= =xn= 1on obtient
n
xi>n2
=ijX=1xj
=n
+xn)x1+∙ ∙ ∙+x1n
(x1+∙ ∙ ∙1
2
on peut conclure
inf(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙1nx
∙+1 xn>0
x
=n2
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