Sujet : Analyse, Intégration par la méthode de Gauss
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Intégration par la méthode de Gauss
Notations
2.
1.b
On noteℝl’algèbre réelle des polynômes réels en l’indéterminée, et, pour∈ℕ, on noteℝ
sous-espace vectoriel deℝpolynômes de degrés inférieurs ou égaux àconstitué des .
Pour∈ℝet∈ℕ, on note()le polynôme dérivé deà l’ordre.
On identifiera, polynôme et fonction polynomiale associée.
On note(−1,1 ,ℝ) l’algèbre réelle des fonctions réelles définies et continues sur−1,1 .
Pour tout∈ {0,1,…,}, on pose=∏(−) .
=0
≠
Pour,∈ {0,1,…,}, calculer() .
.
2.a
2.a
Partie II
On reprend les notations de la partie précédente.
On note0,1,…,les racines distinctes du polynômes+1.
1. On considère l’applicationϕ:ℝ→ℝ+1définie parϕ()= ((0),(1),…,()
1.a Montrer queϕest un isomorphisme deℝ- espaces vectoriels.
En déduire que pour tout∈(−1,1 ,ℝ) , il existe un unique polynôme∈ℝtel que pour tout
∈ {0,1,…,}on ait()=() . On notera=cet unique polynôme déterminé par.
2.b
3.a
3.b
3.c
4.a
4.b
Partie I
1.
1.a
1.b
Pour tout∈ℕ, on po= −et=!().
se(21)(2)!
Déterminer le degré ainsi que le coefficient dominant de.
Justifier que la famille=(0,1,…,) constitue une base deℝ.
En exploitant la formule de Leibniz, établir : 1∑2 .
=2=0(−1)−(+1)
En déduire les valeurs de(1) et de(−1) .
Déterminer les racines deainsi que leur multiplicité.
En exploitant le théorème de Rolle, montrer quepossède au moinsracines dans l’intervalle−1,1 .
Le polynômepeut-il avoir d’autres racines que celles évoquées ci-dessus ?
Quelle est la multiplicité des racines?
Etablir que∀,∈ℝ, on a :
1 ( 1)( ) ( )d( 1) (( ) ( ) 1 1 1
∫−1+ ==∑0−1)−()()−1+(−1)+∫−1()+()d.
1
En déduire que pour tout∈ℝon a :−1+1()()d=0
2.b
Etablir que lessont strictement positifs.
Montrer que siest une fonction polynomiale de degré inférieur àalors()=() .
On suppose maintenant que 2est une fonction polynomiale de degré inférieur à+1 .
En réalisant la division euclidienne depar+1, montrer qu’on a encore()=() .
Observer que:֏() est une forme linéaire sur(−1,1 ,ℝ) .
4.d En déduire une majoration de()−() .
4.c Obtenir de même :()−(2+1())≤(2+.
2 2)!
En appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange àétablir que :()−(2+1())≤(22+ .3)!
Soit:−1,1→ℝune fonction de classe2+2. On pose=sup( 2+2)() .
∈[−1,1]
Exprimer la partie régulière du développement de Taylor deà l’ordre 2+1 en 0.
Celle-ci sera notée2+1() .
3.a
3.b
2.c
3.
3.e
4.
3.c
3.d
.
.
4.a
4.b
Soit∈(−1,1 ,ℝ) .
Exprimer les composantesλ0,λ1,…,λdedans la baseà l’aide des valeurs deet deen
1 1
Pour∈(−1,1 ,ℝ) , on pose()=−1()det()=−1()d.
Montrer que( s’écrire) peut()=∑()
=0
avec des réelsqu’on exprimera en fonction deset des.
Justifier que la famille=(0,1,…,) forme une base deℝ
