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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Calcul de primitives
Exercice 1[ 01960 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Ztet2dtb
)Z
Exercice 2[ 00279 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Zcostsintdt
b)Z
Exercice 3[ 00280 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Z1t+2t3dtb)Z
Exercice 4[ 01962 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Zitd+t1b)Z
lntdt
t
tantdt
√1tdt
+t2
etcostdt
Exercice 5[ 01961 ][correction]
Soitλ∈CR,a=Re(λ)etb=Im(λ). Etablir
Zdt
c)Z
c)Z
dt
tlnt
c)Z
c)Z
cos3tdt
td
t
1 +t4
tsintetdt
t−λ= ln|t−λ|+iarctant−ba+Cte
Exercice 6[ 03774 ][correction]
Calculer pour toutx∈Rl’intégrale
Zx
0
dt
3 + cos2t
Enoncés
1
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) On reconnaît une formeu0eu
Z
b) On reconnaît une formeu0u
Z
tet2dt=21et2+Cte
lntdt1ln
=
t2 (t)2+Cte
c) On reconnaît une formeu0u
Ztldt= ln|lnt|+Cte
nt
Exercice 2 :[énoncé]
a) C’est une formeu0udonc
Z
costsintdt2sin=12t+Cte
b) C’est une formeu0udonc
Z
tantdt=−ln|cost|+Cte
c) On se ramène à une formeu0u2viacos2t= 1−sin2t
Zcos3tdt=Zcost−Zcostsin2t= sint−31isn3t+Cte
Exercice 3 :[énoncé]
Dans chaque cas on reconnaît une formeu0f(u)
a)R1t+2t3dt=13ln1 +t3+Ctesur]−∞−1[ou]−1+∞[.
b)R√1t+t2dt=√1 +t2+CtesurR.
c)R1+tt4dt=21arctant2+CtesurR.
Corrections
Exercice 4 :[énoncé]
a) En isolant partie réelle et imaginaire
Zitd+t1=1iZtd−ti=−iZtt2++i1dt
puis
b) On observe
et
donc
c) On observe
Zitd+t arctan1 =t−i2 ln(t2+ 1) +Cte
Z
Z
etcostdt=ReZe(1+i)tdt
Ze(1+i)tdt1+=1ie(1+i)t+Cte
et
t=
etcostd2 (cost+ sint) +Cte
Z
tsintetdt=ImZte(1+i)tdt
et par intégration par parties
+i(1−t)i)
Zte(1+i)tdt=t2e(1+t+Cte
donc
Z
t
tsintetdt=e2 (tsint+ (1−t) cost) +Cte
Exercice 5 :[énoncé]
On peut écrire
1t−a+ib t−a b
= = (t−a)2+b2+i
t−λ(t−a)2+b2(t−a)2+b2
or
Zt−2a+b2dtnl21=(t−a)2+b2+Cte= ln|t−λ|+Cte
(t−a)
et
Z(t−ba)2+b2dt= arctant−ab+Cte
puis la formule proposée.
2
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Corrections
Exercice 6 :[énoncé]
L’intégrale est bien définie et détermine la primitive s’annulant en 0 de la fonction
continue
1
x7→3 + cos2x
NotonsFcette primitive.
Pour calculer, l’intégrale on est tenté de procéder au changement de variable
u= tantmais celui-ci n’est possible que pourx∈]−π2 π2[et alors
F(x) =Znat0xd+4(u3u2=)2√ctaran31√ta32nx
Par continuité
F(π 42) =π√3etF(−π2) =−4√π3
Puisque la fonction intégrée estπ-périodique, on a
F(x+π)−F(x) =Cte
avec
π
Cte=F(π2)−F(−π 22) =√3
On peut alors calculerF(x)en commençant par déterminerk∈Ztel que
puis en exploitant
avec
x+kπ∈]−π2 π2]
+k
F(x) =F(x π)−2k√π3
F(x+kπ 2) =√3ar1ctan√nat32x
3
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