Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Comparaison de fonctions numériques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Comparaison de fonctions numériques
Exercice 1[ 01821 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞
)√3√xx23+3+2b)px2+ 1 +px2−1c)px2+ 1−px2−1
a
Exercice 2[ 00306 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞
a)nl(lx+nx1)−1b)pln(x+ 1)−pln(x−1)
c)xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx
Exercice 3[ 01823 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0
a)p1 +x2−p1−x2b)tanx−sinxc)ex+x−1
Exercice 4[ 00313 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0
a)ln(1 + sinx)b)ln(ln(1 +x))
c)(ln(1 +x))2−(ln(1−x))2
Exercice 5[ 00305 ][correction]
Déterminer un équivalent deln(cosx)quandx→(π2)−
Exercice 6[ 01822 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
lxe−x2
)x→+∞x−+nlxxb)xl→i+m∞xxln+xco−sxx
aim
Exercice 7[ 00705 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
i√xex−x2
m
c)xl→+∞ex+e−x
Enoncés
a)l→im+∞xllnnxx
x
lnx
x
b)limlnxx
x→+∞
Exercice 8[ 00704 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
a)xl→im0+xxinln+sxxb)lim0+lnx+x2
x→ln(x+x2)
Exercice 9[ 01824 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction décroissante telle que
f(x) +f(x+ 1)+∼∞x1
a) Etudier la limite defen+∞.
b) Donner un équivalent defen+∞.
Exercice 10[ 03381 ][correction]
Déterminer
xli→m1−ln(x) ln(1−x)
argshx
c)xl→i+m∞lnx
lim lnx
c)x→1x2−1
1
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ln(1 +x)2−ln(1−x)2= (ln(1 +x) + ln(1−x)) (ln(1 +x)−ln(1−x))
or
et
donc
Or
b) Quandx→+∞,
lnxx−11+
pln(x+ 1)−pln(x− )1) =
pln(x+ 1) +pln(x−1
2 2
lnxx−11+= ln1 +x2−1x−1x
∼ ∼
pln(x+ 1) +pln(x−1) = 2√lnx+o√lnx∼2√lnx
et
donc
pln(x+ 1)−pln(x−1)∼x√ln1x
h) Quandx→+∞,
xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx=xln 11 +x−lnx= 1 +o(1)−lnx∼ −lnx
a) Quandx→+∞,
√x3+ 2xx3223=x56
∼
√3x2+ 3
b) Quandx→+∞,
px2+ 1 +px2−1 =x+o(x) +x+o(x) = 2x+o(x)∼2x
Exercice 1 :[énoncé]
Corrections
donc
Exercice 2 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,
ln 1
ln(lxnx1+1(l1n)+xx)∼xln1x
−=
(x2+ 1)−(x2−1) 2
px2+ 1−px2−1√x2+ 1 +√x−1x+o(x) +x+o(x)∼1x
= =
2
c) Quandx→+∞,
ln(ln(1 +x))∼ln(x)
donc
b) Quandx→0,
ln(1 +x)∼x→06= 1
c) Quandx→0,
ln(1 +x) + ln(1−x) = ln(1−x2)∼ −x2
ln(1 +x)−ln(1−x) =x+o(x)−(−x+o(x)) = 2x+o(x)
(ln(1 +x))2−(ln(1−x))2∼ −2x3
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
a) Quandx→0,
2
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tanx−sinx= tanx(1−cosx tan) = 2xsin22x∼x23
ex+x−1 =x+x+o(x) = 2x+o(x)∼2x
b) Quandx→0,
2
p1 +x2−p1−x2=√1 +x22x√1−x2∼22x2=x2
+
donc
ln(1 + sinx)∼x
ex1∼x
−
c) Quandx→0,
Exercice 4 :[énoncé]
a) Quandx→0,
carsinx→0, or
sinx∼x
ln(1 + sinx)∼sinx
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Exercice 5 :[énoncé]
Quandx→2π−, posonsx=π2−havech→0+
cosx= cosπ2−h= sinh
Or
donc
puis
Exercice 6 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,
b) Quandx→+∞,
c) Quandx→+∞,
Exercice 7 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,
sinh∼h→06= 1
ln sinh∼lnh
ln cosx∼lnπ2−x
−
xex+x2x2
∼=
x−lnx x x→+∞
xlnx−x xlnx= l→+∞
∼nx
x+ cosx x
√xe+x−−xx2√∼xe−x2→0
exe
xlnx2
l =e(lnx)2−ln lnx=e(lnx)2+o(lnx)→+∞
nx
b) Quandx→+∞,
lnxxlnxx=elnxxlnx−lnxxln lnx=e(lnxx)2+o(lnxx)2→1
c) Quandx→+∞,
argshxln(x+√x
=lnx2 = ln(2+ 1)xln+xo(x))∼ll+2nnlnx∼1→1
lnx x
Corrections
Exercice 8 :[énoncé]
a) Quandx→0+,
b) Quandx→0+,
et puisque
on a
xxin+slnxx=x+xxl+nox(x)∼nl2x→0
lnx+x2= lnx+o(lnx)
x+x2∼x→06= 1
ln(x+x2)∼lnx
donc
lnx+x2
ln(x+x2)∼nllnxx= 1→1
c) Quandx→1, on peut écrirex= 1 +havech→0,
lnxnl(2h+1+hh2)∼hh=12→12
x2=2
−1
Exercice 9 :[énoncé]
a)fest décroissante donc possède une limite`en+∞.
Quandx→+∞,f(x)→`etf(x+ 1)→`donc
or
donc`= 0.
b) Quandx→+∞, on a
donc
puis
f(x) +f(x+ 1)→2`
f(x) +f(x+ 1)∼x1→0
f(x+ 1) +f(x)62f(x)6f(x) +f(x−1)
Exercice 10 :[énoncé]
Posonsx= 1−h.
Quandx→1−, on ah→0+et
2f(x)∼1x
f(x)∼21x
ln(x) ln(1−x) = ln(1−h) lnh∼ −hlnh→0
3
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