Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Expression de fonctions définies par une intégrale

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02873 ][correction]
Pour toutxréel, on pose
+∞sin(xt)
f(x) =Z+0∞cos√(txte)−tdtetg(x) =Z0√te−tdt

Soit
+∞s
F:x7Z0int(xt)e−tdt
→
b) Justifier queFest définie et de classeC1surR. CalculerF0(x).
c) En déduire une expression simplifiée deF(x).

∂∂Fx(x y)

Existence et calcul de ces deux intégrales.

−
z0(x 2() =x+1i)z(x)
b) En déduire l’expression dez(x)sachantz(0) =√π2.

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Exercice 3[ 00546 ][correction]
a) Justifier l’existence et calculer
Z+∞
cos(xt)e−tdt
0

Exercice 7[ 00547 ][correction]
On pose
∞
z:x7→Z+e(−1+ix)t2dt
0
a) Montrer quezest définie, de classeC1surRet

Exercice 8[ 00548 ][correction]
On pose
x)t
z:x7→Z+0∞e(−1√+tidt
et on donneR+∞e−t2dt=√2π.
0
a) Justifier et calculerz(0).

Exercice 5CCP MP[ 03311 ][correction]
Soienta bdeux réels strictement positifs.
a) Justifier l’existence pour toutx∈Rde
at−e−bt
F(x) =Z+0∞e−cos(xt) dt
t

b) Justifier queFest de classeC1surRet calculerF0(x).
c) ExprimerF(x)

Exercice 6[ 00553 ][correction]
Soit
−x−yt
F(x y) =Z0+∞ett−edtavec >x y0
Poury >0, montrer quex7→F(x y)est de classeC1surR+?et calculer

En déduire la valeur deF(x y).

a) Montrer que la fonctionfest bien définie.
b) Justifier que la fonction est de classeC1et exprimerf0(x).
c) En déduire une expression def(x)à l’aide des fonctions usuelles

Exercice 1[ 00545 ][correction]
On considère la fonction
f:x∈]−11t−1t
+∞[7→Z0lntxdt

Expression de fonctions définies par une

intégrale

1

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Enoncés

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02874 ][correction]
Etudier
f:x7→Z01tln−t1xdt
t

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b) Montrer quezest définie, de classeC1surRet

z0(x) = 2(x−+1i)z(x)

c) En déduire l’expression dez(x).

Exercice 9[ 00549 ][correction]
En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction
g(x)Z−+∞∞t2eitxdt
−
=e

Exercice 10[ 03655 ][correction]
En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction
g(x) =Z+∞2etxdt
e−t
−∞

Exercice 11Centrale MP[ 00554 ][correction]
Existence et calcul de
ϕ(x) =Z+∞e−t2cos(xt)dt
0

Exercice 12[ 02499 ][correction]
On étudie
f(x) =Z+0∞e−t2t
cos(xt) d
a) Donner le domaine de définition def.
b) Calculerfen formant une équation différentielle.
c) Calculerfen exploitant le développement en série entière de la fonction
cosinus.

Exercice 13[ 03656 ][correction]
a) Existence de
+∞
F(x) =Z0e−t2ch(2xt) dt
b) CalculerF(x)en introduisant une équation différentielle vérifiée parF.
c) CalculerF(x)directement par une intégration terme à terme.

Enoncés

Exercice 14[ 03660 ][correction]
Pourx >0, on pose
2
F(x) =Z0πlncos2(t) +x2sin2(t)dt

a) Justifier queFest définie et de classeC1sur]0+∞[.
b) CalculerF0(x)et en déduire un expression deF(x).

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02881 ][correction]
Existence et calcul de
2πln(1 +xcost)dt
Z0cost

Exercice 16[ 00550 ][correction]
SoitFla fonction définie par :
F(x) =Z0+∞atatcr+1((nt2x)td)t

a) Montrer queFest définie et de classeC1surR+.
b) Déterminer l’expression deF(x).
c) Calculer
+∞arcta
Z0t2n2tdt

Exercice 17[ 00555 ][correction]
Ensemble de définition, dérivée et valeur de
f:x7→Z+∞ln(1 +x2t2)dt.
01 +t2

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02876 ][correction]
Existence et calcul de
=2)dt
f(x)Z+0∞1ln(x2++t2t

2

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Exercice 19[ 03312 ][correction]
a) Montrer que pour toutx >−1
Z10(1ln+1+t2xtd)tl=a22natcrnx8+πln(1 +x2)−Z0x+1+1ln(t2t)dt
b) En déduire la valeur de
Z01+1(nl+1t2td)t

Exercice 20[ 00556 ][correction]
Soit
2
F(x) =Zπln(1 +xsin2t) dtsur[0+∞[
0
a) Justifier queFest bien définie et continue.
b) Etudier la dérivabilité sur]0+∞[et donner l’expression de sa dérivée via le
changement de variableu= tant.
c) Etablir queF(x) =π(ln(1 +√1 +x)−ln 2).

Exercice 21[ 00551 ][correction]
Soit
F(x) =Z10ln(1 + 2tctosx+t2)dt
a) Justifier queFest définie et de classeC1sur[0 π2]
b) CalculerF0(x)sur[0 π2]
c) Donner la valeur deF(0)puis celle deF(x)sachant

+∞(−1)k−1π2
X=
k212
k=1

Exercice 22[ 00552 ][correction]
Pourn∈N?etx >0, on pose
+∞
In(x) =Z0(x2d+tt2)n

a) Justifier l’existence deIn(x).
b) CalculerI1(x).
c) Justifier queIn(x)est de classeC1et exprimerI0n(x).
d) ExprimerIn(x).

Enoncés

Exercice 23[ 02638 ][correction]
On pose, pourx>0,
F(x) =Z+∞e−xt1−tc2ostdt
0
a) Montrer queFest continue sur[0+∞[et tend vers 0 en+∞.
b) Montrer queFest deux fois dérivable sur]0+∞[et calculerF00(x).
c) En déduire la valeur deF(0)puis la valeur de l’intégrale convergente
+sintdt
Z0∞t

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02872 ][correction]
Pourx∈R+, soit
+∞
f(x) =Zsint−txdt
e
0t
a) Justifier la définition def(x).
b) Montrer quefest classeC1surR+?.
c) Calculerf(x)six∈R+?
.
d) Montrer quefest continue en 0. Qu’en déduit-on ?

3

Exercice 25Centrale MP[ 02486 ][correction]
On pose
+∞
f(x) =Zlnte−xtdt
0
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest de classeC1et donner une équation différentielle vérifiée par
f.
c) Calculerf(1)avec un logiciel de calcul forme et en déduire explicitementf.
d) Retrouver ce résultat par une méthode plus simple.

Exercice 26[ 03323 ][correction]
Pour toutx∈R, on pose
F(x) =Z+0∞exp−t2+xt22dt
a) Montrer queFest définie et continue surR.
b) Montrer queFest de classeC1sur]0+∞[.
c) Former une équation différentielle vérifiée parFsur]0+∞[.
d) En déduire une expression simple deFsurR.

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Exercice 27CCP PC[ 03619 ][correction]
SoitFla fonction définie par :
F(x) =Z0+∞atrtcna((1+t2x)td)t

a) Montrer queFest définie et de classeC1surR+.
On admet l’identité

x2−1x21
=−
(1 +x2t2)(1 +t2 +) 1x2t21 +t2

valable pour toutxettdansR
b) Déterminer l’expression deF(x).

Exercice 28[ 02611 ][correction]
On pose
+ 2t
F(x) =Z0∞e−t−e−cos(xt) dt
t
a) Quel est le domaine de définition réelIde la fonctionF?
b) Justifier que la fonctionFest de classeC1surI.
c) ExprimerF(x)à l’aide des fonctions usuelles.

Enoncés

4

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)t7→tln−t1txest définie et continue sur]01[.
+
Quandt→0, pour−x < y <1,ty tln−t1tx∼tlyn+tx→0.
Quandt→1−, posonsh= 1−t→0+,tln−t1tx=−ln(1h−h)(1−h)x→1.
Doncfest bien définie.
b)g(x t) =tl−t1exlntest définie et continue sur]−1+∞[×]01[.
n
∂∂gx(x t) = (t−1)exlntest définie sur]−1+∞[×]01[.
t7→∂x∂g(x t)est continue par morceaux sur]0ᙦ