Sujet : Analyse, Espaces normés, Equivalence de normes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Equivalence de normes

Exercice 1[ 00458 ][correction]
SoitNune norme surMn(R). Montrer qu’il existec >0tel que

N(AB)6cN(A)N(B)

Exercice 2[ 03146 ][correction]
Soientn∈NetEl’espace des polynômes réels de degrés inférieurs àn.
Montrer qu’il existeλ >0vérifiant
1
∀P∈EZ0|P(t)|dt>λts∈[u0p1]|P(t)|

Enoncés

Exercice 3[ 00474 ][correction]
Pourd∈N, on poseE=Rd[X]l’espace des polynômes réels en l’indéterminéeX
de degrés inférieurs ou égaux àd.
a) Pourξ= (ξ0     ξd)famille ded+ 1nombres réels distincts etP∈E, on pose

d
Nξ(P) =X|P(ξk)|
k=0

Montrer queNξdéfinit une norme surE.
b) Soit(Pn)une suite de polynômes éléments deE. Pour toutn∈N, on écrit

d
Pn=XaknXk
k=0

Etablir que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite de fonctions(Pn)converge simplement surR;
(ii) la suite de fonctions(Pn)converge uniformément sur tout segment deR;
(iii) pour toutk∈ {0     d}, la suite(ak n)converge.


Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02768 ][correction]
SoitEun sous-espace vectoriel de dimensiond>1deC0([01]R).
a) Etablir l’existence de(a1     ad)∈[01]dtel que l’application

d
N:f∈E7→X|f(ai)|
i=1

soit une norme.
b) Soit(fn)une suite de fonctions deEqui converge simplement vers une
fonctionf: [01]→R. Montrer quef∈Eet que la convergence est uniforme.

1

Exercice 5[ 01582 ][correction]
Montrer que si(Pn)suite de fonctions polynomiales de degré inférieur àest une N
convergeant simplement vers une fonctionfsurRalorsfest une fonction
polynomiale.

Exercice 6Centrale MP[ 02411 ][correction]
Soit
E=f∈ C2([0 π]R)f(0) =f0(0) = 0

a) Montrer que
N:f7→ kf+f00k∞
est une norme surE.
b) Montrer queNest équivalente à
ν:f7→ kfk∞+kf00k∞

Exercice 7[ 00463 ][correction]
On noteE=C1([01]R).
a) Pourf∈E, on pose
N(f) =kfk∞+kf0k∞
Montrer queNest une norme surE. Est-elle équivalente àkk∞?
b) Pourf∈E, on pose
N0(f) =|f(0)|+kf0k∞
Montrer queN0est une norme surE. Montrer qu’elle est équivalente àN.

Exercice 8[ 00464 ][correction]
On noteEleR-espace vectoriel des fonctionsf: [01]→Rde classeC1vérifiant
f(0) = 0. Pourf∈E, on pose

N1(f sup) =|f(x)|+ sup|f0(x)|etN2(f) = sup|f(x) +f0(x)|
x∈[01]x∈[01]x∈[01]

Montrer queN1etN2sont deux normes surEet qu’elles sont équivalentes.

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Enoncés

Exercice 9[ 03262 ][correction]
SoientE=C([01]R)etE+l’ensemble des fonctions deEqui sont positives et ne
s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonctionϕ∈E+et pour toute
fonctionf∈Eon pose
kfkϕ=tsup{|f(t)|ϕ(t)}
∈[01]
a) Montrer quekkϕest une norme surE
b) Montrer que siϕ1etϕ2sont deux applications strictement positives deE+
alors les normes associées sont équivalentes.
c) Les normeskkxetkkx2sont elles équivalentes ?

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02767 ][correction]
SoientE=C([01]R)etE+l’ensemble des fonctions deEqui sont positives et ne
s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonctionϕ∈E+et pour toute
fonctionf∈Eon pose
kfkϕ=Z10|f(t)|ϕ(t) dt
a) Montrer quekkϕest une norme surE
b) Montrer que siϕ1etϕ2sont deux applications strictement positives deE+
alors les normes associées sont équivalentes.
c) Les normeskkxetkkx2 ?sont elles équivalentes

Exercice 11Centrale MP[ 02409 ][correction]
a) Quelles sont les valeurs dea∈Rpour lesquelles l’application
(x y)7→Na(x y) =px2+ 2axy+y2

définit une norme surR2.
b) SiNaetNbsont des normes, calculer
Na(x y)
(xiyn)6f=0NNba((yxyx))et(xsyu)6p=0Nb(x y)

Exercice 12[ 03265 ][correction]
On note`∞(NR)l’espace des suites réelles bornées normé parkk∞.
a) Soita= (an)une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur
la suiteapour que l’application

+∞
Na:x7→Xan|xn|
n=0

définit une norme sur`∞(NR).
b) ComparerNaetkk∞.

Exercice 13[ 03267 ][correction]
Soient l’espaceE=f∈ C1([01]R)f(0) = 0etN1 N2les applications
définies surEpar

N1(f) =kf0k∞etN2(f) =kf+f0k∞
a) Montrer queN1etN2définissent des normes surE.
b) Montrer queN2est dominée parN1.
c) En exploitant l’identité
f(−xZx0(t)) etdt
x) = e (f(t) +f
0
montrer queN1est dominée parN2.

Exercice 14CCP MP[ 03696 ][correction]
a) Montrer que

N∞(u) = sup|un|etN(u) = sup|un+1−un|
n∈Nn∈N

2

définissent des normes sur l’espaceEdes suites réelles bornéesu= (un)n∈Ntelles
queu0= 0.
b) Montrer que
∀u∈E N(u)62N∞(u)
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 15CCP MP[ 00039 ][correction]
a) Montrer que

N∞(u) = sup|un|etN(u) = sup|un+1−un|
n∈Nn∈N

définissent des normes sur l’espaceEdes suites réelles bornéesu= (un)n∈Ntelles
queu0= 0.
b) Montrer que
∀u∈E N(u)62N∞(u)
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On saitN∞(AB)6nN∞(A)N∞(B)etαN6N∞6βNavec >α β0donc

N(AB)61α N∞(AB)6Nαn∞(A)N∞(B)6αβn2N(A)N(B)

Exercice 2 :[énoncé]
Les applications
N1:P7Z01|P(t)|dtetN2:Pt∈[01]
→ 7→sup|P(t)|

Corrections

définissent deux normes sur l’espaceE. Puisque l’espaceEest de dimension finie,
ces deux normes sont équivalentes et en particulierN2est dominée parN1

Exercice 3 :[énoncé]
a) facile.
b) (i)⇒(ii) Supposons que la suite(Pn)converge simplement surRvers une
certaine fonctionf. On ne sait pas a priori si cette fonction est, ou non,
polynomiale.
Soitξ= (ξ0     ξd)une famille ded+ 1réels distincts etP∈Edéterminé par
P(ξk) =f(ξk). On peut affirmer que la(Pn)suite converge versPpour la norme
Nξ. Soit[a b]un segment deRaveca < b.N=kk∞[ab]définit une norme sur
Equi est équivalent àNξcarEest de dimension finie. Puisque(Pn)converge
versPpour la normeNξ, on peut affirmer que la convergence a aussi lieu pour la
normeNet donc(Pn)converge uniformément versPsur le segment[a b]. Au
passage, on en déduit quef=P.
(ii)⇒(iii) Si la suite(Pn)converge uniformément sur tout segment vers une
fonctionf, elle converge aussi simplement versfet l’étude ci-dessus montre quef
est un polynôme. En introduisant la norme infinie relative aux coefficients
polynomiaux :
a0+∙ ∙ ∙+adXd∞=0m6ka6xd|ak|

l’équivalence de norme permet d’établir que les coefficients dePnconvergent vers
les coefficients respectifs def.
(iii)⇒(i) immédiat.

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) L’applicationN:E→R+proposée vérifie aisémentN(λf) =|λ|N(f)et
N(f+g)6N(f) +N(g). Le problème est l’obtention deN(f) = 0⇒f= 0.
Par récurrence surd∈N?.
˜
Casd= 1:E=Vect(g)avecg6= 0. Un réela1∈[01]tel queg(a1)6= 0convient.
Supposons la propriété au rangd>1.
SoitEun sous-espace vectoriel de dimensiond+ 1deC0([01]&