Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation linéaire scalaire d'ordre 2

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Equation linéaire scalaire d’ordre 2

Exercice 1[ 00395 ][correction]
Résoudre surRl’équation différentielle

(t2+ 1)y00−2y=t

en commençant par rechercher les polynômes solutions.

Exercice 2[ 00396 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(1 +t2)2y00(t)−2t(1 +t2)y0(t) + 2(t2−1)y(t) = (1 +t2)

On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale de l’équation
homogène.

Exercice 3[ 00397 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation
t3y00+ty0−y= 0

Exercice 4[ 00398 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation

Exercice 5[ 00400 ][correction]
Résoudre sur]01[l’équation

t2y00+ty0−y= 1

x(1−x)y00+ (1−3x)y0−y= 0

en commençant par rechercher une solution développable en série entière.

Exercice 6[ 00401 ][correction]
Résoudre sur]−11[l’équation

4(1−t2)y00(t)−4ty0(t) +y(t) = 0

en recherchant les fonctions développables en série entière.

Enoncés

Exercice 7[ 01319 ][correction]
Soit l’équation différentielle

E:xy00+ 3y0−4x3y= 0

a) Chercher une solution non nulley1développable en série entière au voisinage
de 0 et non nulle.
Préciser le rayon de convergence puis exprimery1(x)à l’aide des fonctions
usuelles, pourx∈]0+∞[
b) Trouver une solutiony2deEsur]0+∞[non colinéaire ày1.
c) Décrire l’ensemble des solutions deEsur]0+∞[.

Exercice 8[ 01016 ][correction]
a) Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équation
différentielle
y00+ 2xy0+ 2y= 0

b) Exprimer parmi celles-ci celles dont la somme est une fonction paire.

Exercice 9[ 00404 ][correction]
a) Résoudre surRl’équation

(1 +t2)y00(t) + 4t y0(t) + 2y(t) = 0

en recherchant les séries entières solutions.
b) Résoudre ensuite

(1 +t2)y00(t) + 4t y0(t) + 2y(t)=11+t2

Exercice 10Centrale MP[ 02455 ][correction]
a) Résoudre l’équation différentielle

y00+y= cos(nt)
b) SoitPanune série absolument convergente.
Résoudre l’équation différentielle

+∞
y00+y=Xancos(nt)
n=0

1

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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02891 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(x2+ 1)y00+xy0−y= 0

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02892 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R+?→Rdérivables telles que

∀x >0 f0(x) =f(1x)

Exercice 13[ 03240 ][correction]
Soitα >0. Résoudre surI= ]0+∞[l’équation différentielle

Eα:x2y00(x) +xy0(x)−α2y(x) = 0

On pourra étudier les fonctions propres de l’application

ϕ:y(x)7→xy0(x)

Exercice 14[ 03504 ][correction]
Résoudre sur]01[l’équation différentielle

x2(1−x)y00−x(1 +x)y0+y= 0

Exercice 15[ 03506 ][correction]
Déterminer la dimension de l’espace
E=y∈ C2(RR)∀x∈R y00(x) +y(x) =y(0) cos(x)

Exercice 16[ 03508 ][correction]
Résoudre sur]0+∞[l’équation différentielle

xy00(x) + 2y0(x)−xy(x) = 0

en posanty(x) =xαz(x)avecα∈Rbien choisi.

Enoncés

Exercice 17CCP MP[ 03293 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

x
(1−x2)y00−3xy0−y=√
1−x2

(on pourra vérifier que l’applicationx7→√11−x2est solution de l’équation
homogène associée)

Exercice 18CCP MP[ 02573 ][correction]
En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable
u=ϕ(t)dans l’équation différentielle

(1 +t2)x00+tx0+a2x= 0

tel qu’elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.

Exercice 19CCP MP[ 02540 ][correction]
On veut résoudre

(E) : (x+ 1)y00−(3x+ 4)y0+ 3y= (3x+ 2)e3x

SiΔest l’opérateur de dérivation etQ(X) =X−3, on aQ(Δ)(y) =y0−3y.
Montrer l’existence d’un polynômePde la formea(x)X+b(x)tel que(E)
devienne
(P(Δ)◦Q(Δ)) (y) = (3x+ 2)e3x

Résoudre l’équation à l’aide du changement de variablez=Q(Δ)(y).

Exercice 20CCP MP[ 02528 ][correction]
a) Montrer qu’il existe une solutionhde l’équation

xy00+y0+y= 0

développable en série entière et vérifianth(0) = 1.
b) Montrer quehne s’annule qu’une fois sur]02[.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(t2+ 1)y00−2y= 0.y1(t) =t2+ 1est solution surR.
Méthode de Lagrange : Cherchons une solutiony2(t) =λ(t)y1(t).
On obtientλ00(t) +t2+4t1λ0(t) = 0qui donneλ0(t) =(t2C+1)2.
R(t2d+t1)2=21arctant+12t2t+1+Cetλ(t) = arctant+t2t+1convient ce qui donne
y2(t) = (t2+ 1) arctant+t.
AinsiS0=t7→λ(t2+ 1) +µ((t2µ∈R.
y(t) =−21test solution particulière+d1o)nacrctant+t)λ
S=t7→λ(t2+ 1) +µ((t2+ 1) arctant+t)−12tλ µ∈R

Exercice 2 :[énoncé]
Siyest un polynôme unitaire de degrénsolution de l’équation homogène, le
coefficient detn+2dans le premier membre de l’équation est :

n(n−1)−2n+ 2 =n2−3n+ 2 = (n−2)(n−1)

et donc nécessairementn62.
Poury(t) =at2+bt+c, le premier membre de l’équation devient :

2a(1 +t2)2−2t(2at+b)(1 +t2) + 2(t2−1)(at2+bt+c) = (2c−2a)t2−4bt+ (2a−2c)

d’oùa=cetb= 0
Finalementy1(t) =t2+ 1est solution particulière.
En vertu de la méthode de Lagrange, résolvons l’équation complète en procédant
au changement de fonction inconnue

y(t) =λ(t)y1(t)

Soienty:R→Rune fonction deux fois dérivable etλ:R→Rla fonction définie
par
λ(t) =y(t)
1 +t2
de sorte quey(t) =λ(t)y1(t). La fonctionλest deux fois dérivable.
Après calculs, on obtient queyest solution de l’équation différentielle étudiée si,
et seulement si,
(1 +t2)3λ00(t) +t(1 +t2)2λ0(t) = (1 +t2)
Après résolution de cette équation d’ordre 1 en l’inconnueλ0, on obtient

λ+ a
λ0(t=+)(1rctt2)nat

puis
λ(t) =µ+λarctantn+12(arctat)2
Finalement la solution générale de l’équation étudiée est

y(t) =λ(1 +t2) arctant+µ(1 +t2+(112)+t2) (arctant)2

Exercice 3 :[énoncé]
En recherchant les fonctions polynomiales solutions on obtient :y(t) =tsolution
particulière.
On posey(t) =tz(t)et on parvient à l’équation

t4z00+t2(2t+ 1)z0= 0

z(t) = e1tpuisy(t) =te1tconviennent.
Solution générale
y(t) =λte1t+µt

Exercice 4 :[énoncé]
Solution particulièrey(t) =−1.
Résolvons l’équation homogènet2y00+ty0−y= 0.
En recherchant les fonctions polynomiales solutions on obtient :y(t) =tsolution
particulière.
0
On posey(t) =tz(t)et on parvient à l’équationt3z00+ 3t2z= 0.
z(t) =t12puisy(t) =t1conviennent.
Solution générale homogène :y(t) =tλ+µt
Solution générale :y(t) =tλ+µt−1

Exercice 5 :[énoncé]
Soityla somme de la série entièrePanxnde rayon de convergenceRsupposé
>0.
+∞
x(1−x)y00+ (1−3x)y0−y=X(n+ 1)2(an+1−an)xn
n=0
On en déduity(x) =1 1−xsolution de l’équation étudiée.
On pose ensuitey(x) =1z(−xx)aveczdeux fois dérivable.
On obtient
xz00+z0= 0

3

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z(x) = ln(x)puisy(x) =nl1−xxconviennent.
Solution générale sur]01[
λln(x) +µ
y(x) =
1−x

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
Soityla somme de la sé