Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Intégrale fonction des bornes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Intégrale fonction des bornes

Exercice 1Centrale MP[ 00087 ][correction]
On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel.
a) Résoudre sur l’intervalleI= ]1+∞[l’équation différentielle

(E):xy01
=
+ylnx
et expliciter (sous forme intégrale) la solution de(E)surI, notéef, telle que
f(2) = 0.
Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel ?
b) Etudier les variations def. Vérifier quefadmet un maximum en un unique
point d’abscissex0∈I.
Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée dex0.
c) Déterminer un développement asymptotique à deux termes def(x)quand
x→+∞. On commencera par établir l’équivalent

f(x)x→∼+∞1lnx
d) Déterminer un équivalent deflorsquex→1+.
e) Tracer le graphe defavec le logiciel de calcul formel.

Exercice 2[ 02610 ][correction]
Pourx∈]01[∪]1+∞[, on pose
t
f(x) =Zxx2d
lnt

Enoncés

a) Justifier l’existence def(x)pour chaquex∈]01[∪]1+∞[
b) Etablir que pour toutx >1,
Zxx2xtldntt6f(x)6Zxx2xt2dlntt
En déduire la limite defen1+
c) Etudier de mme la limite defen1−.
d) Justifier que la fonctionfest de classeC1sur]01[et sur]1+∞[et exprimer

f0(x)

e) Etablir que le prolongement par continuité defen 1 est de classeC1puis de
classeC∞sur]0+∞[

Exercice 3Centrale MP[ 02444 ][correction]
Soit
2
f(x) =Zxdnltt
x
a) Calculer les limites defen0+et+∞, la limite en+∞def(x)xet montrer
quef(x)tend versln 2quandxtend vers 1.
b) Montrer quefest de classeC∞surR+?mais qu’elle ne l’est pas surR+.
c) Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative.

Exercice 4[ 00273 ][correction]
On introduit surR?la fonction
2x
f:x7→Zettdt
x

a) Prolongerfpar continuité en 0.
b) Montrer quefest de classeC1surR.
c) Etudier les branches infinies de la fonctionf

Exercice 5[ 00275 ][correction]
Soit
f:x∈R?7→Zx2xcthtdt
a) Etudier la parité def. On étudie désormaisfsur]0+∞[.
b) Prolongerfpar continuité en 0.
c) Montrer quefest de classeC1surR+.
d) Branches infinies, allure.

Exercice 6[ 00277 ][correction]
Soientf∈ C1(RR)etg:R?→Rdéfinie par
g(x 1) =x
xZ0f(t) dt

a) Prolongergpar continuité en 0.
b) Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classeC1surR.

1

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Exercice 7[ 00278 ][correction]
Soientf:R→Rune application de classeC1eta >0. On pose
I(x) =xa1+1Z0xtaf(t) dt

Déterminer la limite deI(x)quandxtend vers 0.

Exercice 8[ 03789 ][correction]
Etude et graphe de la fonction
x7Z2xd+1tt2+t4
→x√

On préciser le comportement de la fonction quandx→0et quandx→ ±∞.

Exercice 9CCP PC[ 03788 ][correction]
a) Montrer que la fonction
f:x7→Z2xettdt
x

est définie et dérivable surR?.
b) Déterminer la limite defen 0.

Exercice 10[ 02617 ][correction]
Pour toutx∈[1+∞[, on pose
F(x) =Z1x√tt−1
dt
3

Enoncés

a) Montrer que la fonctionFest bien définie, continue sur[1+∞[et de classeC∞
sur]1+∞[.
Exprimer sa dérivéeF0(x)
b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1.
c) Etudier la limite deFen+∞.
d) Justifier queFréalise une bijection de[1+∞[sur un intervalle à préciser.
e) Justifier queF−1est dérivable sur]0+∞[et solution de l’équation différentielle
yy0=py3−1

f) Etudier la dérivabilité deF−1en0.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(E)est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie surI.
La solution générale homogène est

y(x) =xλ
Par la méthode de la variation de constante, une solution particulière est
dt
y(x) =x1Z2xlnt

La solution générale est alors
xdt
y(x) =x1λ+Z2lnt

La fonctionfrecherchée est donnée par
f(x) =x1Z2xdnltt

La résolution avec Maple
dsolve(x*D(y)(x)+y(x)=1/ln(x), y(2)=0, y(x));
fait référence à une fonctionEiqui lui est personnelle.
b) La fonctionfadmet pour dérivée
f0(x) =xnl1x−x12Z2xlndtt=x12g(x)
avec
g(x ln) =xx−Z2xdnltt
Par intégration par parties

g(xl2=)2n−Z2xdnl(tt)2

Corrections

Puisque
g0(x) =−(1nlx)2<0
la fonctiongest strictement décroissante,g(2)>0etlimg=−∞donc la fonction
+∞
gs’annule une unique fois en unx0∈I. Le signe degpuis def0sont alors

immédiats et on peut affirmer quefadmet un unique maximum enx0. On
obtient une valeur approchée dex0en écrivant
fsolve(diff(1/x*int(1/ln(t), t=2..x), x)=0, x);
et l’on obtientx0= 6579728à10−6près.
c) Par intégration par parties
f(x) =x1Z2xnldttnl1=x−x12+ln2xZ2x(dnltt)2
Montrons que
Z2xd(lnt=oZ2xldnttquandx→+∞
t)2
Soitε >0. Puisque1lnt−−−−→0, il existexel u
t→+∞0>2t q e

∀1ln6ε
t>x0t

et alors
Zx0xnl(dtt)26εZxx0dlntt6εZ2xdnltt
De plus, par non intégrabilité d’une fonction positive
xdt
Z2lnt−−−−→+∞
x→+∞

donc, pourxassez grand

et alors

Z2x0nd(ltt)2=CteZxdt
6ε2lnt
06Z2xdn(lttZxdnltt
)262ε2

On en déduit
2 1
f(x)∼1lnx x lnln 2x
− ∼
Une nouvelle intégration par parties donne
x
Z2x(lndtt)2(nl=xx)2−2)(2nl2+ 2Z2(ldntt)3

Comme ci-dessus, on montre
Z2xd(lntt)3=oZ2xdl(ntt)2quandx→+∞

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et on en déduit
1
f(x+(ln)nl1=x)2+o1(lnx)2quandx→+∞
x

d) Quandx→1+, on peut écrirex= 1 +uavecu→0+et alors
dt
Z2xlnt=Z1udl(n1s+s)

Or

1 1s−ln(1 +s)
ln(1s +) =
+s sln(1 +s)

donc
Z1u1(nlds+s ln) =u+Z1uss−l1+n((ln+1s)s)ds
Grâce à un prolongement par continuité, il y a convergence quandu→0+de
l’intégrale du second membre et donc on peut affirmer
f(x) =x1Z2xnldtt 1= 1
∼
u x−1

e) On obtient le graphe defpar la commande
plot(1/x*int(1/ln(t), t=2..x), x=1.5..20);

Corrections

Le graphe def

Remarque :
Les questions c) et d) pouvaient aussi tre résolues en faisant référence à des
résultats de comparaison d’intégrales partielles de fonctions positives non
intégrables (résultats hors-programme).

Exercice 2 :[énoncé]
a) Pour chaquexconsidérée, la fonction intégrée est définie et continue sur le
segment d’extrémitésxetx2.
b) Pourx >1et pour toutt∈x x2,x6t6x2etlnt >0donne par
intégration en bon ordre
x2t
Zxtxnldt6f(x)6Zxx2tx2dlntt

Puisque

2
Zxtdlntt= [ln|lnt|]xx2 2= ln
x

4

on obtient
f(x)x−→−1−+→ln 2
c) Pourx <1, on a cette fois-cix26xetlnt <0.
En adaptant ce qui précède, on obtient cette fois-cix2ln 26f(x)6xln 2d’où
l’on conclut
−→ln 2
f(x)x−→−1−
d) On introduitHprimitive det7→1lntsur]01[ou]1+∞[.
On peut alors écriref(x) =H(x2)−H(x)d’où l’on tire quefest de classeC1sur
]01[et sur]1+∞[avec
f=x−1
0(xnl)x
e) La dérivée defconverge en 1 donc par le théorème du prolongementC1on
,
peut affirmer que le prolongement par continuité defen 1, encore notéf, est de
classeC1sur]0+∞[.
La dérivée defest évidement de classeC∞sur]01[et sur]1+∞[.
Au voisinage de 1, la dé