Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Formules de Taylor

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Formules de Taylor

Exercice 1[ 00291 ][correction]
Etablir que pour toutx∈[0 π2],

x13si 13+1120x5
−6x6nx6x−6x

Exercice 2[ 00293 ][correction]
Soitf:R→Rde classeC2.
On suppose

Montrer que

f(x) f00(x)−−−−→0
x→+∞

x−−−−→0
f0( )x→+∞

Exercice 3[ 00295 ][correction]
En exploitant une formule de Taylor adéquate établir

nl→i+m∞Xn(k−1+)1k 2= ln
k=0

Exercice 4[ 00296 ][correction]
Soitf:R→Rde classeC2telle quef00(0)6= 0.
a) Montre que pour chaquex∈R?, il existeθ∈]01[vérifiant la relation

f(x) =f(0) +xf0(θx)

b) Montrer qu’au voisinage de 0 ceθest unique.
c) Déterminer la limite deθquandx→0.

Exercice 5[ 00297 ][correction]
Soientf: [01]→Rune application de classeC2et

n
Sn=Xf(kn2)−nf(0)
k=1

Déterminer la limite de la suite(Sn).

Enoncés

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02816 ][correction]
Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02817 ][correction]
Montrer, pour toutx∈]0 π2[, l’existence deθx∈]01[tel que

sinx=x x3s(xθx)
−co
6

Etudier la limite deθxquandxtend vers 0 par valeur supérieure.

Exercice 8[ 00255 ][correction]
Soientn∈N?etϕ:R→Rune fonction de classeCntelle que

ϕ(x) =o)
x→0(xn

a) Montrer que
∀06p6n ϕ(p)(x)x=→0o(xn−p)
b) On introduitψ:R→Rdéfinie par
ψ(x) =0ϕ(x)xisnsixo6n= 0

Montrer que
∀06 ψp < n(p)(x)x→=0o(xn−p−1)
En déduire queψest de classeCn−1surR.
c) Soientf:R→Rde classeCnetg:R→Rdéfinie par
f(x)
g(x) =f0(0x−)f(0)sinisxo6n= 0

Montrer quegest de classeCn−1.
d) Soientf g:R→Rde classeCntelles que

f(0) = 0,g(x) = 0⇔x= 0etg0(0)6= 0

Montrer quef gest de classeCn−1.

1

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Exercice 9[ 03217 ][correction]
[Egalité de Taylor-Lagrange]
Soientf:I→Reta∈I. Montrer que sifest de classeCn+1alors

∀x∈I∃c∈I f(x) =k=Xn0f(kk)!(a()x−a)k+f((nn++1))1(c(!)x−a)n+1

Exercice 10[ 01732 ][correction]
Soitfde classeC2surRbornée et telle quef0etf00soient bornées.
Montrer, à l’aide d’une formule de Taylor, que

kf0k2∞64kfk∞kf00k∞

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par la formule de Taylor avec reste intégral :
sinx=x−1!3x3+Z0x(x4−!t)4cos(t) dt
or
5
06Z0x(x−4!t)4cos(t) dt61x20
donc

1
x−16x36sinx6x−61x31+02x5

Exercice 2 :[énoncé]
Par Taylor avec reste intégral
f(x+ 1) =f) +Zxx+1(
(x) +f0(x x+ 1−t)f00(t) dt

donc

|f0(x)|6|f(x)|+|f(x+ 1)|+x6tm6axx+1|f00(t)|

Exercice 3 :[énoncé]
Considérons la fonctionf:t→ln(1 +t).
fest de classeC∞,f(0) = 0,

∀k>1 f(k)(t) = (−)1(k1−1(+kt)k−1)!

−−−−→0
x→+∞

donc
f(k)(0) = (−1)k−1(k−1)!
Sur[01],f(n+1)(t)6n!donc l’inégalité de Taylor Lagrange donne

i.e.

n1
=
f(1)−f(0)−kX=1f(kk))!0(6(nn!!+1)n+ 1

n−1
ln 2−X(k−1+1)k6n11+→0
k=0

Corrections

d’où

nX(k−+11)k→ln 2
k=0

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) L’existence deθest assurée par le théorème des accroissements finis.
b) Si deux réelsθetθ0sont solutions distinctes alors, par le théorème de Rolle,f00
s’annule entreθxetθ0x. Orf00(0)6= 0, donc il existe un voisinage de 0 sur lequel
f00ne s’annule pas et sur ce voisinage on a l’unicité deθ.
c) Par la formule de Taylor-Young appliquée àf0:

f0(θx) =f0(0) +xθf00(0) +o(x)

En substituant dans la relation initiale, on obtient

f(x) =f(0) +xf0(0) +x2θf00(0) +o(x2)

Or la formule de Taylor-Young appliquée àfdonne

f(x) =f(0) +xf0+10)(2x2f00(0) +o(x2)

On en déduit
x2θf00(0) +o(x221=)x2f00(0) +o(x2)
Sachantf00(0)6= 0, on en déduitθ→12quandx→0.

Exercice 5 :[énoncé]
Par l’inégalité de Taylor Lagrange avecM=[m0a1x]|f00|:
fkn2−f(0)−kn2f0(0)6M2nk22

Par suite

or

donc

n
Sn−Xkn2f0(0)62Mn4k=Xn1k262nM→0
k=1

nXkn2f0(0) =n2+n1f0(0)
k=1

Sn−−−−→f0(0)2
n→+∞

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Exercice 6 :[énoncé]
C’est du cours.

Exercice 7 :[énoncé]
Par l’égalité de Taylor-Lagrange (hors-programme) :

∀x∈]0 π2[∃ξ∈]0 x[,sinx=x−16x3cos(ξ)

Corrections

Le réelθx=ξxconvient.
A défaut de connaître, l’égalité de Taylor-Lagrange, par l’égalité de Taylor avec
reste intégral
x
sinx=x−Z(x−2!t)2costdt
0
Or pourt∈[0 x], on a
cosx6cost61

avec inégalité stricte pourt∈]0 x[donc
x
x63cosx <Z0(x2−!t)2costd xt <63

Ainsi
x(x−t)2
Z02! costdt=λ x63aveccosx < λ < 01 = cos
Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut écrire

λ= cos(xθx)avecθx∈]01[

Quandx→0,xθx→0donc

puis

or

doncθ2x→110puis

cos(xθx) = 1−21x2θx2+o(x2)

sinx=x−61x3+211x5θx2+o(x5)

131
sinx=x−6x201+x5+o(x5)

θx→ √110

Exercice 8 :[énoncé]
a) Par la formule de Taylor Young :

ϕ(x) =ϕ(0) +xϕ0(0) +∙ ∙ ∙+nx!nϕ(n)(0) +o(xn)
ϕ(x) =o(xn)entraîne alorsϕ(0) =ϕ0(0) =  =ϕ(n)(0) = 0.
En appliquant la formule de Taylor Young àϕ(p), on obtient la conclusion.
b)xψ(x) =ϕ(x) =o(xn)doncψ(x) =o(xn−1).
xψ0(x) +ψ(x) =ϕ0(x) =o(xn−1)doncψ0(x) =o(xn−2)
xψ00(x) + 2ψ0(x) =ϕ00(x) =o(xn−2)doncψ00(x) =o(xn−3)...
Par le théorème du prolongementC1, la fonctionψest de classeCn−1.
c) On introduit
ϕ(x) =f(x)−f(0) +xf0(0) +x22f00(0) +∙ ∙ ∙+xnn!f(n)(0)



On aϕ(x) =o(xn)doncψest de classeCn−1puis
=ψ(x) +f0(0) +∙ ∙ ∙xn−1(n)(0)
g(x) +n!f

est de classeCn−1.
d)

f(x)f(x) 1
=
g(x)x g(x)x
avecx7→f(x)xetx7→g(x)xqui se prolongent en 0 en des fonctions de classe
n−1
C.

Exercice 9 :[énoncé]
Soitx∈I
Casx=a
N’importe quelcconvient.
Casx > a
Par la formule de Taylor-Laplace

Posons

n(x−t)n
f(x) =Xf(kk)(!a)(x−a)k+Zxan!f(n+1)(t) dt
k=0

m= min(n+1
[ax]f)etM=[maaxx]f(n+1)

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Corrections

On a
m(x(n−+a)1n)+!16Zxa(x−n!t)nf(n+1(x−a)n+1
)(t) dt6M(n+ 1)!
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires àf(n+1), il existec∈Itel
que
x
Z(x−n!t)nf(n+1)(t) dt=f(n+1)(c) (x(n−+a)1n)+!1
a
Casx < a
Semblable

Exercice 10 :[énoncé]
Par l’inégalité de Taylor Lagrange

donc

puis

kf(x+h)−f(x)−hf0(x)k6h2f00k
2k∞

2
hkf0(x)k6kf(x+h)k+kf(x)k+h2kf00k∞

hkf00k∞
kf0(x)k62kfhk∞2+
Pourh= 2pkfk∞kf00k∞, on obtient

et l’on peut conclure.

kf0(x)k62qkfk∞kf00k