Sujet : Analyse, Deux équations fonctionnelles
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1.
1.a
1.b
1.c
1.d
2.
2.a
2.b
Soit:ℝ→ℝune app
Deux équations fonctionnelles
lication continue telle que :
∀,∈ℝ,(+)=()+()
Calculer(0) et établir queest une fonction impaire.
Soit∈ℝ. Montrer que pour tout∈ℕ,()=() . Etendre cette relation à∈ℤ.
On pose=(1) . Montrer que pour tout∈ℚ,()=.
En exploitant la continuité de, établir enfin que pour tout∈ℝ,().
=
Soit:ℝ→ − application continue telle que :1,1 une
∀,∈ℝ,(+)=1()(+)((.) )
+
−
=
Soitϕ:ℝ→ℝdéfinie parϕ(. )11
+
Montrer queϕest réalise une bijection deℝvers− que pour tout1,1 et,∈ℝ,
ϕ(+)=1ϕ+()(+)ϕ(( ).)
ϕϕ
On pose=ϕ−1. Exprimer(+ fonction de) en() et() pour tout,∈ℝ.
2.c En déduire la forme de l’expression de() en fonction de.
