Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Compacité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Compacité

Exercice 1[ 01159 ][correction]
Montrer queOn(R) ={A∈ Mn(R)tAA=In}est une partie compacte de
Mn(R).

Enoncés

Exercice 2[ 01160 ][correction]
Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-mme compacte.

Exercice 3[ 01161 ][correction]
SoientKune partie compacte non vide d’un espace vectoriel norméEetx∈E.
Montrer qu’il existey∈Ktel que

d(x K) =d(x y)

Exercice 4[ 01164 ][correction]
SoientKetLdeux compacts d’un espace vectoriel norméE.
Etablir queK+L={x+yx∈K y∈L}est un compact deE.

Exercice 5[ 01165 ][correction]
SoientFun fermé etKun compact d’un espace vectoriel norméE.
Etablir que la partieF+K={x+yx∈F y∈K}est fermée.

Exercice 6[ 01166 ][correction]
SoitKun compact d’un espace vectoriel norméEtel que0∈ K.
On formeF={λxλ∈R+ x∈K}. Montrer queFest fermé.

Exercice 7[ 01167 ][correction]
SoientKetLdeux compacts disjoints d’unK-espace vectoriel de dimension finie.
Montrer qued(K L)>0.

Exercice 8[ 01168 ][correction]
SoitFune partie fermée non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie
E.
a) Montrer que, pour toutx∈E, la distance dexàFest atteinte en un certain
élémenty0∈F.
b) Y a-t-il unicité de cet élémenty0?

Exercice 9[ 03274 ][correction]
SoitAune partie bornée non vide d’unR-espace vectoriel de dimension finieE.
a) Montrer qu’il existe une boule fermée de rayon minimal contenantA.
b) On suppose l’espaceEeuclidien, montrer l’unicité de la boule précédente.

Exercice 10[ 01171 ][correction]
SoientEetFdeux espaces normés etf:E→Fune application.
On suppose queFest compact,f−1({y})est compact pour touty∈Fet que
l’image de tout fermé deEest un fermé deF. Montrer queEest compact.

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02772 ][correction]
Soientfune fonction deRdansRetGf={(x f(x))x∈R}le graphe def.
a) Montrer, sifest continue, queGfest fermé.
b) Sifest bornée et siGfest fermé dansR2, montrer quefest continue.
c) Le résultat du b) subsiste-t-il sifn’est pas bornée ?

1

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02777 ][correction]
SoientAun compact d’intérieur non vide deRnetLA={u∈ L(Rn) u(A)⊂A}.
Montrer queLAest un compact deL(Rn).

Exercice 13[ 03271 ][correction]
[Théorème de Riesz]
SoitFun sous-espace vectoriel de dimension finie d’unK-espace vectorielE.
a) Montrer que pour touta∈E, il existex∈Fvérifiant

d(a F) =ka−xk

b) On supposeF6=E. Montrer qu’il existea∈Evérifiant
d(a F) = 1etkak= 1

c) On suppose leK-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe une
suite(an)d’éléments deEvérifiant

∀n∈Nkank= 1etd(an+1Vect(a0     an)) = 1

Conclure que la boule unité deEn’est pas compacte.

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Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02778 ][correction]
Soient(Ekk)un espace vectoriel normé etFun sous-espace vectoriel de
dimension finie deE.
a) Montrer
∀x∈E∃y∈F d(x F) =kx−yk

Enoncés

b) Montrer, siF6=E, qu’il existeu∈Etel qued(u F) =kuk= 1.
c) Montrer queEest de dimension finie si, et seulement si,B={x∈Ekxk61}
est une partie compacte.

Exercice 15[ 03305 ][correction]
a) SoitFune partie fermée d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
L’ensembleF0=SB(x1) ?est-il fermé
x∈F
b) Qu’en est-il si on ne suppose plus l’espaceE ?de dimension finie

Exercice 16[ 03472 ][correction]
SoientKune partie compacte d’un espace de dimension finie etr >0.
Montrer que la partie
Kr=[B(x r)
¯
x∈K
est compacte.

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02776 ][correction]
SoientE1etE2deux espaces vectoriels normés réels,fune application deE1
dansE2telle que pour tout compactKdeE2,f−1(K)soit un compact deE1.
Montrer, siFest un fermé deE1, quef(F)est un fermé deE2.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On(R)est borné par 1 pour la norme

kAk= max|aij|
16ij6n

On(R)est fermé car siAp∈ On(R)→AalorstApAp=Indonne à la limite
tAA=In

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
SoitFune partie fermée d’un compactK. Si(xn)est une suite d’éléments deF,
alors c’est aussi une suite d’éléments deKet on peut donc en extraire une suite
(xϕ(n))convergeant dansK. Cette suite extraite est aussi une suite convergente
d’éléments du ferméF, sa limite appartient donc àF. Au final, il existe une suite
extraire de(xn)convergeant dansF.

Exercice 3 :[énoncé]

Par définition
d(x K) =yi∈nfKd(x y)
Pour toutn∈N?, il existeyn∈Ktel que

d(x K)6d(x yn)6d(x K 1) +n

La suite(yn)d’éléments du compactKadmet une valeur d’adhérencey∈K. Il
existe alors une extractriceϕtelle queyϕ(n)→y. Mais alorsd(x yϕ(n))→d(x y)
et
d(x K)6d(x yϕ(n))6d(x K) +ϕ1(n)
donne à la limited(x y) =d(x K).
On aurait pu aussi introduire la fonctiony7→ ky−xkqui est continue sur un
compact non vide et admet donc un minimum.

Exercice 4 :[énoncé]
Soit(un)une suite d’éléments deK+L. Pour toutn∈N, on peut écrire
un=an+bnavecan∈Ketbn∈L. On peut extraire de la suite(an)d’éléments
du compactK, une suite(aϕ(n))convergeant vers un élément deK. On peut aussi

3

extraire de la suite(bϕ(n))d’éléments du compactL, une suite(bϕ(ψ(n)))
convergeant vers un élément deL. Pour l’extractriceθ=ϕ◦ψ,(aθ(n))et(bθ(n))
convergent vers des éléments deKetLdonc(uθ(n))converge vers un élément de
K+L.
Autre démonstrationK+Lest l’image du compactK×LdeE2par l’application
continue(x y)7→x+y.

Exercice 5 :[énoncé]
Soit(un)une suite convergente d’éléments deF+Kde limiteu. Pour toutn∈N,
on peut écrireun=an+bnavecan∈Fetbn∈K. La suite(bn)étant une suite
d’élément du compactK, on peut en extraire une suite convergente(bϕ(n))de
limiteb∈K. La suite(aϕ(n))est alors convergente de limitea=u−bcar
aϕ(n)=uϕ(n)−bϕ(n). Or(aϕ(n))est une suite d’éléments du ferméFdonca∈F
et puisqueu=a+b,u∈F+K. FinalementF+Kest fermée.

Exercice 6 :[énoncé]
un∈F→u,un=λnxn.0∈Kdonc∀α >0 B(0 α)⊂CEK.
kunk → kuketα6kxnk6Mdonc(λn)est bornée.
Par double extraction(xϕ(n))et(λϕ(n))convergent versx∈Retλ∈R+. On a
alorsu=λx.

Exercice 7 :[énoncé]
Soient(xn)∈KNet(yn)∈LNtelle que
d(K L) =(xy)infK×Ld(x y) = lnim∞d(xn yn).
∈
On peut extraire de(xn)une suite convergente(xϕ(n))et on peut extraire de
(yϕ(n))une suite convergente(yϕ(ψ(n))). Pourx= limxϕ(n)∈Ket
y= limyϕ(ψ(n))∈Lon ad(K L) =d(x y)>0carK∩L=∅.

Exercice 8 :[énoncé]
a) Posonsd=d(x F).

∀n∈N?∃xn∈F,kx−xnk6d+n1

Cela permet de définir une(xn)bornée, elle admet donc une sous-suite
convergente(xϕ(n))dont on notex¯la limite. On ax¯∈FcarFest une partie
fermée et puisquekx−xnk →don obtientkx−¯xk=d
.
b) Non, prendrex= 0etFl’hypersphère unité.

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Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a) Soita∈E. Puisque la partieAest bornée et non vide, l’ensemble
{kx−akx∈A}est une partie non vide et majo