Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Extremum sur compact

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Extremum sur compact

Exercice 1[ 00063 ][correction]
Soitf: (x y)7→xy(1−x−y)définie sur
T=(x y)∈R2x y>0 x+y61

a) Justifier quefest continue et présente un maximum à l’intérieur deT.
b) Déterminer sa valeur.

Exercice 2[ 00064 ][correction]
SoitDl’ensemble des couples(x y)∈R2tels quex>0 y>0etx+y61.
a) Montrer queDest une partie compacte deR2.
b) Soienta >0 > b0 > c0etf:D →Rdéfinie par :

f(x y) =xayb(1−x−y)c

Montrer quefest continue surD.
c) Déterminer
supf(x y)
(xy)∈D

Exercice 3[ 00066 ][correction]
Déterminer
sup sinxsinysin(x+y)
[0π2]2

Enoncés

Exercice 4[ 00259 ][correction]
Déterminer le maximum de la fonctionfdéfinie sur le compactK= [01]2donnée
par
f(x y +) = (1xx2)1(+y+y2)

Exercice 5[ 00067 ][correction]
On noteCle cercle trigonométrique.
Quel est le périmètre maximal d’un triangle dont les sommets sont surC?

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02911 ][correction]
Calculer l’aire maximale d’un triangle inscrit dans un cercle de rayonr.

Exercice 7[ 03349 ][correction]
Soit(ABC)un vrai triangle du plan. Pour un pointMdu plan, on pose

f(M) =M A+M B+M C

1

a) Etudier la différentiabilité def.
b) En considérant le disque fermé de centreAet de rayonAB+AC, établir quef
possède un minimum absolu dans le plan.
c) SoitTun point où ce minimum est atteint. On suppose queTn’est pas un
sommet du triangle.
Etablir
T−→A T−→B T−→C=~0
T A+T B+T C
d) Montrer qu’alors le pointTvoit les sommets du triangle sous un mme angle.

Exercice 8Centrale MP[ 02465 ][correction]
Soit un triangleABCetMparcourant l’intérieur de ce triangle. On veut
déterminer en quelle position le produit des 3 distances deMà chacun des côtés
du triangle est maximal.
Indications : ne pas oublier de justifier l’existence de ce maximum, la réponse est
le centre de gravité du triangle.

Exercice 9[ 03509 ][correction]
Déterminer les extrema defsurDavec
f(x y) =x4+y4−2(x−y)2avecD=(x y)∈R2x2+y264

Exercice 10[ 03510 ][correction]
SoitSle sommet de coordonnées(a0)de l’ellipse d’équation

2 2
xa2+by21
=

Déterminer deux pointsM Nde l’ellipse tels que l’aire du triangle(SM N)soit
maximale.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)fest polynomiale donc continue.Test compact doncfprésente un maximum
surT. Commefpositives et des valeurs nulles surprend des valeurs strictement
le bord deT,fprésente son maximum à l’intérieur deT.
b)fest de classeC1sur l’ouvertU=T◦donc le maximum defest point critique.

∂∂fx(x y) =y(1−2x−y)et∂yf∂(x y) =x(1−x−2y)

Après résolution, on obtient que seul le couple(1313)est point critique defet
on a
f(131)31=72

Le seul point critique intérieur à[0 π2]2est enx=y=π3et la valeuryest
3√3
8.
Sur le bord de[0 π2]2le maximum est celui de la fonctionϕavec

1
ϕ(t) = sintsin (π2−t) = sintcost= sin 2t
2
Ce maximum vaut12.
Puisque

on a

3√3 1
8>2
[0sπup2]2sinxsinysin(x+y 8 3) =√3

2

éExercice 4 :[énoncé]
aExDerecsitce 2 :[énonc ]Rappelons que toute fonction réelle définie et continue sur un compact non vide y
) fermée et bornée donc cαompacteαofcnitnoimax.P.umsquilaueemdamnutfest continue sur le compactK, on est
b) Pourα >0, la fonctiont7→t=e0lntissit>t=00est continue sur[01]assuré de l’existence du maximum étudié.
doncfest continue par composition. NotonsUl’ouvert donné par
cP)uiPsuqiusequfeefontcesuresnutipmcanuocdaemitylaximtunmum..evitisoptnemetictrrseualàvstmeixumecamluelonnnveetsitistpoU=K◦= ]01[2
UOr=fe(sxtny)ull∈eRsu2rxleybo>rd0tedexD+doyn<c c1etrl’nsveoumemudastamixedeuqitncunstdotcripoincte’efcarfLa fonctionfest de classeC1surU.
e∂∂sxft(Cx1 ys)ur=l’xoau−v1eyrtb(U1.−x−y)c−1(a(1−x−y)−cx)et∂y∂f(x y) =xayb−1(1−x−y)c−1(b(1−x−y)∂f∂x−(ycx)y) = 1−2)x2y(1−+x2y2)et∂y∂f(x y+1(1=)−x22)x(y1−+yy22)2
(1 +x2
Après résolution, seul le couple(1√31√3)est point critique defdansU.
Il n’y a qu’un seul point critique c’est : La valeur defen ce couple est
a+ba+c  a+bb+cf√13√13= 3√83
Finalement
aabbcc

(xsyu)p∈Df(x y () =a+b+c)a+b+c

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionf: (x y)7→sinxsinysin(x+y)est continue sur le compact[0 π2]2
donc y admet un maximum.

Sur le bord deK, les valeurs prises parfsont les valeurs prises sur[01]par les
fonctions

ϕ(t) =f(t0) =f(0 t 1 +) =tt2etψ(t) =f(t1) =f(1 t=1+2(1+)tt2)

D’une part

ϕ(t)621

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et d’autre part

ψ0(t) =x4(2+1x+2x−2)x2+ 1>0

Corrections

donne que le maximum deψestψ(1) = 12.
Puisque
3√3>12
8
on peut affirmer que le maximum defn’évolue pas sur le bord du compactK, il
est donc forcément dansUet c’est alors un point critique defqui ne peut qu’tre
le couple(1√31√3).

Exercice 5 :[énoncé]
On peut supposer l’un des sommets tre(10)et les deux autres repérés par des
angles0< α < β <2π.
Cela nous amène à considérerf: (α β)7→2sinα2+ sinβ2−α+ sin2βsur l’ouvert
U=(α β)∈R20< α < β <2π.
Le maximum, qui existe, est alors point critique de cette fonction de classeC1.
cosα2−cosβ−2α= 0
Cela nous amène à résoudre le systèmesoc2β+ cβ2α= 0.
−
os
L’équationcosα2= cosβ−2αdonneα2=β−2α[2π]ouα2=α2−β[2π].
L’alternative2α=α2−β[2π]est à exclure et il resteβ= 2αavec de plus
α∈]0 π[.
L’équationcos2β=−cosβ2−αdonne alorscosα=−cos2αd’oùα=32πpuisque
α∈]0 π[.
Finalement le triangle correspondant est équilatéral.

Exercice 6 :[énoncé]
NotonsA B Cles points définissant notre triangle etOle centre du cercle
cEirncionntsrcoridtu.isantlesmesuresα β γdes anglesO−→C O−→B,O−→B−O→Aet
−O→A O−→B, on vérifieα+β+γ [2= 0π]et on peut calculer l’aire algébrique des
triangles(OAB),(OBC)et(OCA)qui sont respectivement

21r2sinα,21r2sinβet12r2sinγ=−12r2sin(α+β)

L’aire algébrique du triangle(ABC)est alors

f(α β=12)r2(sinα+ sinβ−sin(α+β))

L’étude des points critiques de cette fonction de classeC1sur]02π[2conduit à
résoudre le système
(csosocαβ=((ssoocc=αα++ββ))

dont les seuls solutions dans]02π[2sont
32π32πet43π4π
3

Ce sont les situations de triangles équilatéraux resp. direct et indirect.
L’extremum trouvé vaut
3√3r2
4

Exercice 7 :[énoncé]
a) La fonctionM7→M Aest différent