Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Extremum

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Extremum

Exercice 1[ 00058 ][correction]
Déterminer les extrema locaux et globaux de

f(x y) =x3+y3−3xy

Exercice 2[ 00059 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x4+y4−4xy

Exercice 3[ 00060 ][correction]
Extrema locaux et globaux de

f(x y) =y(x2+ (lny)2)

Exercice 4Centrale MP[ 00061 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x2+xy+y2+ 2x−2y

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02910 ][correction]
Trouver les extrema surR2de

f(x y) =x4+y4−2(x−y)2

Exercice 6Centrale MP[ 02463 ][correction]
Déterminer les extremums dexlnx+ylnysur]0+∞[2.

Exercice 7Centrale MP[ 02473 ][correction]
Avec Maple, trouver les extrema de

f(x y) =yexp(x) +xexp(y)

Enoncés

Exercice 8
Calculer

[ 00065

][correction]
xiyn>f0x+1y+1xy

Exercice 9Centrale MP[ 00070 ][correction]
Soita >0. Montrer que
f: (x y)7→x+y+axy
admet un minimum strict sur(R+?)2

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 00071 ][correction]
Soita >0. On pose, pourx >0ety >0,
f(x y) =x2+y2+a
xy

Montrer quefadmet un minimum absolu et calculer ce dernier.

Exercice 11[ 00072 ][correction]
SoientUun ouvert convexe etf:U→Rune fonction convexe et différentiable.
Montrer que tout point critique est un minimum global.

Exercice 12[ 00268 ][correction]
Déterminer
xy
sup
(xy)∈]0+∞[2(1 +x)(1 +y)(x+y)

Exercice 13CCP MP[ 03347 ][correction]
On considère l’espace vectorielRnmuni de son produit scalaire usuel notéh|i.
Soitfun endomorphisme symétrique deRndont toutes les valeurs propres sont
strictement positives.
a) Montrer que
∀x∈Rn {0}hf(x)|xi>0
b) Soituun vecteur deRnetg:Rn→Rl’application définie par

g(x=)21hf(x)|xi − hu|xi

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Montrer quegadmet des dérivées partielles selon tout vecteur deR
expliciter.
c) Montrer quegadmet un unique point critique notéz.
d) Montrer quegadmet un minimum global enz.

net les

Enoncés

Exercice 14Centrale MP[ 03740 ][correction]
Rnest muni de la structure euclidienne canonique.
a) Comment détermine-t-on les extrémums d’une fonction de classeC2sur un
ouvert deRn(nfixé dansN?) ?
b) Etudier l’existence d’extrémums de la fonctionfà valeurs dansR, définie sur
3

Rpar
(x y z)7→(2x+y−z)(x+y+ 2z)
c) Déterminer les extrémums de la fonctionfdans la boule unité fermée deR3.
d)Eétant un espace vectoriel euclidien,fetgétant deux formes linéaires non
nulles surE, déterminer les extrémums globaux de la fonctionf gdans la boule
unité fermée deEen utilisant des vecteurs représentantsfetgà travers le
produit scalaire.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 15CCP MP[ 02548 ][correction]
Extremum locaux et globaux def(x y) =y(x2+ (lny)2)surR×]0+∞[.

Exercice 16CCP MP[ 02530 ][correction]
a) Etudier les branches infinies, les variations, la convexité et représenter
f(t) =t−lnt−1t.
b) Résoudref(t) = 0.
c) Trouver les extremums globaux et locaux de

g(x y) =xlny−ylnx

Exercice 17CCP MP[ 02496 ][correction]
Extremum locaux et globaux de

f(x y) =y(x2+ (lny)2)

II) Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn.
Montrer que(I f f2     fn2)liée et en déduire qu’il existe un polynôme nonest
identiquement nul qui annulef.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Points critiques(00)et(11).
∂∂2xf2(x y) = 6x,∂∂x2∂yf(x y) =−3,∂∂2fy2= 6y
En (0,0) :r= 0 s=−3 t= 0, pas d’extremum local.
En(11):r= 6 s=−3 t= 6, minimum local. Ce n’est pas un minimum global
par considération la limite def(t0)quantt→ −∞.

Exercice 2 :[énoncé]
Points critiques(00),(11)et(−1−1).
∂2f
2(x y) = 12x2,∂∂x2f∂y(x y) =−4,∂∂2fy2= 12y2
∂x
En (0,0) :r= 0 s=−4 t= 0, pas d’extremum local.
En(11):r= 12 s=−4 t= 12, minimum local.
En(−1−1):f(x y) =f(−x−y), mme conclusion qu’en(11).
Puisque
f(x y)−f(11) = (x2−1)2+ (y2−1)2+ 2(x−y)2>0
On peut conclure que(11)et(−1−1)sont minimum globaux.

Exercice 3 :[énoncé]
+?
fest définie surR×R.
Points critiques(01)et(0e−2).
En(01):f(01) = 0.
Puisque
∀x∈R∀y >0 f(x y)>0
(01)est un minimum global.
En(0e−2):rt−s2=−4.
Ce n’est pas un extremum local.

Exercice 4 :[énoncé]
(−22)seul point critique.
En posantx=−2 +uety= 2 +v, puisu=rcosθetv=rsinθ
f(x y)−f(−22) =u2+uv+v2=r2(1 + cosθsinθ)>0

Il y a un minimum global en(−22).

Exercice 5 :[énoncé]
La fonctionf: (x y)7→x4+y4−2(x−y)2est de classeC∞surR2.
Après résolution ses points critiques sont :(00),(√2√−2)et(−√2√2).
En(00):f(00) = 0,f(1n0)∼ −2n2<0etf(1n1n)∼2n4>0.
Pas d’extremum local en(00)
En(√2√−2):r= 20,t= 20ets= 4.rt−s2>0etr >0.
Il y a un minimum local en(√2√−2).
f(√2 +u−√2 +v) =−8 + 10(u2+v2) + 4uv+ 4√2(u3−v3) +u4+v4

On exploite
2(u2+v2) + 4uv= 2(u+v)2et8u2+ 4√2u3+u4=u2(u+ 2√2)2

pour affirmer
f(√2 +u√−2 +v) =f(√2√−2) + 2(u+v)2+u2(u+ 2√2)2+v2(v+ 2√2)2
Ainsi(√2√−2)est un minimum global.
En(√−2√2): l’étude est identique puisquef(x y) =f(y x).

3

Exercice 6 :[énoncé]
L’étude des points critiques donne(11)seul point critique.
La fonctiont7→tlntadmet un minimum en 1, donc(x y)7→xlnx+ylnyadmet un
minimum en(11).

Exercice 7 :[énoncé]
On définit la fonction
f:=(x, y)->x*exp(y)+y*exp(x);
On recherche les points critiques :
solve(D[1](f)(x, y)=0, D[2](f)(x, y)=0, x, y);
La réponse fournie par Maple, s’exprime à l’aide deRootOf. On concrétise celle-ci
par
allvalues(%);
On obtient un seul point critique(−1−1).
On peut confirmer le résultat précédent en introduisant
g:=t->t*exp(1/t)+exp(t);
Cette fonction est strictement positive sur]0+∞[et sa dérivée obtenue par
diff(g(t), t);
assure quegest strictement croissante sur]−∞0[.
Cela permet d’affirmer que leRootOfprécédent ne conduit qu’à la valeur−1.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

On étudie le point critique en posant
r:=D[1, 1](f)(-1, -1);
s:=D[1, 2](f)(-1, -1);
t:=D[2, 2](f)(-1, -1);
et en calculant
r*t-s 2;
ˆ
La valeur obtenue est strictement négative, il n’y a pas d’extremum en(−1−1).
On peut confirmer ce résultat en par la représentation
plot3d(f(x, y), x=-2..0, y=-2..0);

Exercice 8 :[énoncé]
Soitf(x y) =xy+x1+y1définie sur(R+?)2.
Soitx >0fixé.
e−1x
L’applicationy7→f(x y)a pour dérivéy2+, elle donc minimale pour
y=√1.
x
Considéronsg:x7→f(x√1x) =x1+ 2√x.
gest dérivable surR+?etg0(x) =−x12+√1x=x√xx2−1.
gest minimale pourx= 1, puisfest minimale en(11)avecf(19