Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Dérivées partielles de fonctions composées

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Dérivées partielles de fonctions composées

Exercice 1[ 00043 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1vérifiant

∀(x y)∈R2 f(x y) =f(y x)

Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles def?

Exercice 2[ 00046 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1.
On dit quefest homogène de degréα∈Rsi, et seulement si,

a) Montrer que

∀t >0,∀(x y)∈R2,f(tx ty) =tαf(x y)

b) Etablir la réciproque.

∂f+∂f=αf
x
∂x y ∂y

Enoncés

Exercice 3[ 00048 ][correction]
Soientf: (x y)7→f(x y)de classeC1etg: (r θ)7→f(rcosθ rsinθ).
Justifier quegestC1et exprimer les dérivées partielles defen fonction de celles
deg.

Exercice 4Centrale PC[ 01327 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R+?→Rde classeC2telle que

vérifie

F:Rn {0} →R
(x1    xn)7→fqx21+∙ ∙ ∙+xn2

n∂2F
i=X1∂xi2= 0



Exercice 5[ 00049 ][correction]
Soientf: (x y)7→f(x y)de classeC2etg: (r θ)7→f(rcosθ rsinθ).
Justifier quegest de classeC2et exprimer

∂2f ∂2f
∂x2+∂y2

en fonction des dérivées partielles deg.

Exercice 6[ 00047 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1telle que

∀(x y)∈R2xx∂f∂(x y) +yy∂f∂(x y) = 0

Montrer la constance de l’application suivante
ϕ:r7→Z20πf(rcost rsint) dt

Exercice 7[ 03675 ][correction]
Soientα∈Retf:R2→Rde classeC1telle que

Exprimer

∀(x y)∈R2fx∂x(x y) +∂y∂fy(x y) =αf(x y)
∂

ϕ:r∈[0+∞[7→Z20πf(rcost rsint) dt

Exercice 8[ 00050 ][correction]
Soientf∈ C2(R2R)telle que

etg(r t) =f(rcost rsint).
a) Trouver une relation liant

∂2f+∂2f
∂x2∂y2= 0

∂∂rr ∂get∂∂2t2g
∂r

1

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b) Montrer que
ϕ:r7→Z2π
f(rcost rsint)dt
0
estC2surRet que(rϕ0(r))0= 0
c) Conclure queϕest constante.

Exercice 9[ 00051 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1. On définit
x3
F(x) =Z2f(x+ 1 t) dt
x

Démontrer queFest dérivable surRet préciser sa dérivée.

Enoncés

Exercice 10Centrale MP[ 02461 ][correction]
Montrer quef:Rn→Rde classeC1est homogène de degrépsi, et seulement si,

1     xn)∈Rn,Xxi(x1     xn) =p x1     xn)
∀(xn∂ff∂x(
i=1i

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02903 ][correction]
Soient(x1     xn h1     hn)∈R2n,f∈ C1(RnR)et, sit∈R,

Calculerg0(t).

g(t) =f(x1+th1     xn+thn)

Exercice 12Centrale MP[ 03502 ][correction]
SoientE=C∞(RnR),E?le dual deEet
D=d∈E?∀(f g)∈E2 d(f g) =f(0)d(g) +g(0)d(f)

a) Montrer queDest un sous-espace vectoriel deE?.
b) Montrer queDest non réduit à{0}.
c) Soitd∈ Dethune fonction constante. Que vautd(h)?
d) Soitf∈E. Montrer
∀x∈Rn f(x) =f(0) +Xx
niZ01f∂x∂i(tx) dt
i=1

Vérifier que l’applicationx7→R01∂xf∂i(tx) dtest dansE.
e) Soitd∈ D. Etablir l’existence de(a1     an)∈Rntel que

∀f∈E d(f) =i=Xn1aixf∂∂i(0)

f) Déterminer la dimension deD.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
∂∂xf(x y) =ddx(f(x y)) =ddx(f(y x)) =f∂y∂(y x).

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) En dérivant la relationf(tx ty) =tαf(x y)en la variablet:
x∂f∂x(tx ty) +yyf∂∂(tx ty) =αtα−1f(x y).
En évaluant ent= 1, on obtient :xx∂f∂(x y) +yf∂∂y(x y) =αf(x y).
b) Supposons quefvérifie l’équation proposée.
Pour(x y)∈R2, considéronsϕ:t7→f(tx ty)−tαf(x y)définie surR+?.
ϕest dérivable ettϕ0(t) =αϕ(t). Après résolution et puisqueϕ(1) = 0, on obtient
ϕ(t) = 0et doncfest homogène de degréα.

Exercice 3 :[énoncé]
Par composition de fonctionsC1,gest de classeC1.

∂∂gr(r θ) = co∂fθ∂x(rcosθ rsinθ) + siny∂f∂θ(rcosθ rsinθ)
s

et
∂∂θg(r θ) =−rsinθ∂∂fx(rcosθ rsinθ) +rcos∂yθ∂f(rcosθ rsinθ)
En combinant ces deux relations, on obtient

∂∂fx(x y) = cos∂rθ∂g(rcosθ rsinθ)−sirn∂g∂θθ(rcosθ rsinθ)et

∂∂fy(x y) = sinθg∂r∂(rcosθ rsinθ) + corsθθg∂∂(rcosθ rsinθ)

Exercice 4 :[énoncé]
Par composition de fonctions de classeC2, la fonctionFest de classeC2sur
Rn {0}.
On calcule les dérivées partielles deF
∂∂xFi(x1     xn) =px12+x∙i∙ ∙+x2nf0qx12+∙ ∙ ∙+xn2

3

∂∂2Fxi2(x1     xn) =x21+∙x∙i2∙+xn2f00qx12+∙ ∙ ∙+xn2+x12+∙ ∙ ∙+xˆi2+∙ ∙ ∙+2x2nf0qx12
(x21+∙ ∙ ∙+x2n)3
On en déduit
i=nX1∂∂2Fxi2=f00qx12+∙ ∙ ∙+xn2+n−1nf0qx12+∙ ∙ ∙+xn2
px12+∙ ∙ ∙+x2
Puisquet=px21+∙ ∙ ∙+xn2parcourtR+?quand(x1     xn)parcourtRn {0},
n
l’équationP∂∂2xF2= 0est vérifiée si, et seulement si,fest solution surR+?de
i=1i
l’équation différentielle
0(t)
f0+ (n−t1)f0(t) = 0

Après résolution on obtient

f(t) =tnλ−2+µavecλ µ∈Rsin6= 2etf(t) =λlnt+µsin= 2

Exercice 5 :[énoncé]

∂g ∂f
∂r= cosx∂θf∂+ sin∂fy∂θ,∂g∂θ=−rsinf∂xθ∂+rcos∂θy

et
∂∂r22g= cos2θ∂∂2xf2+ 2 cosθsinθ ∂2f+ s∂2f
∂x∂yin2yθ∂2
2θ ∂2f
r12∂∂θ22g= sin2fθ∂∂x2−2 cosθsin∂x∂y+ cos2∂θ∂2fy2−1rcos∂fx∂θ−rn1isθf∂∂y
donc
∂2f ∂2f ∂2g1∂g1∂2g

∂x2+∂y2=∂r2+r ∂r+r2∂θ2

Exercice 6 :[énoncé]
L’applicationϕest bien définie carϕ(r)est l’intégrale sur un segment d’une
fonction continue.
Posonsg: (r t)7→f(rcost rsint).
La fonctiongadmet une dérivée partielleg∂r∂et celle-ci est continue surR×[02π].
Poura >0, la fonctiong∂r∂est continue sur le compact[−a a]×[02π]et donc il
existeM∈R+vérifiant

∀(r t)∈[−a a]×[02π]g∂r∂(r t)6M=ψ(t)


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Corrections

La fonctionψest évidemment intégrable sur[02π]et donc par domination sur
tout segment, la fonctionϕest de classeC1surRet
ϕ0(r) =Z02πcos∂txf∂(rcost rsint)